门(GATE-IT-2004)第 65 题

这是一道经典的离散数学问题。题目要求我们给出一个大小为 $n$ 的集合 $S$，然后要求我们求出 $S$ 的全部子集的大小之和。

这个问题可以使用递归算法解决。具体而言，我们可以从集合 $S$ 中取出一个元素 $x$，然后递归地计算 $S \setminus {x}$ 的全部子集的大小之和，再加上 $S$ 的大小。代码如下：

def subset_sum(s):
    if len(s) == 0:
        return 0
    x = s.pop()
    return subset_sum(s) + subset_sum(s) + len(s) + 1

该代码的时间复杂度为 $O(2^n)$，因为在每个递归层级中，我们都要进行两次递归调用。因此，我们可以使用动态规划来加速计算。具体而言，我们可以使用一个数组 $dp$ 来记录 $S$ 的全部子集的大小之和。对于每个 $i \in [0, 2^n-1]$，$dp_i$ 的值就等于 $i$ 二进制表示中 $1$ 的个数（也就是 $i$ 的大小）。代码如下：

def subset_sum(s):
    n = len(s)
    dp = [0] * (1 << n)
    for i in range(1 << n):
        dp[i] = bin(i).count('1')
    return sum(dp)

该代码的时间复杂度为 $O(n2^n)$，因为我们需要枚举全部 $2^n$ 个子集，并对每个子集分别计算其大小。但是，我们也可以使用更快的算法来解决这个问题，比如使用 Gray 码或者位运算技巧来避免不必要的枚举。但是，这些算法超出了本题的范畴，感兴趣的读者可以自行探索。