门| GATE-CS-2017（套装2）|问题 11

这道题目考察了二叉搜索树的相关操作，需要完成以下任务：

1. 给定一棵二叉搜索树，判断是否存在两个节点的和等于一个给定值。
2. 实现一个算法，在一棵二叉搜索树中找到所有和为一个给定值的节点对。

二叉搜索树

二叉搜索树是一种二叉树，它满足以下性质：

1. 对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
2. 对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
3. 左右子树都是二叉搜索树。

基于这个性质，我们可以方便地实现一些操作，比如查找、插入、删除等。

在本题中，我们需要利用二叉搜索树的有序性质，来实现相应的算法。

判断是否存在两个节点的和等于一个给定值

如果我们已经得到了二叉搜索树中所有节点的值的有序序列，那么就可以使用双指针法来判断是否存在两个节点的和等于一个给定值。

具体地，我们可以使用两个指针，一个指向序列的开头，一个指向序列的结尾。如果两个指针对应的节点的值的和小于给定值，那么我们可以将左指针右移，否则我们可以将右指针左移，直到找到一对节点的值的和等于给定值，或者左指针大于等于右指针。

如下是对应的 Python 代码实现：

def exists_sum(root, target):
    """
    :type root: TreeNode
    :type target: int
    :rtype: bool
    """
    def inorder(node):
        if not node:
            return []
        return inorder(node.left) + [node.val] + inorder(node.right)
    
    vals = inorder(root)
    i, j = 0, len(vals) - 1
    while i < j:
        if vals[i] + vals[j] == target:
            return True
        elif vals[i] + vals[j] < target:
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return False

在二叉搜索树中找到所有和为一个给定值的节点对

如果我们要在二叉搜索树中找到所有和为一个给定值的节点对，那么我们可以使用中序遍历得到有序序列，然后再使用双指针法来查找满足条件的节点对。

具体地，我们可以用递归的方式进行中序遍历，将得到的所有节点的值存储在一个有序数组中。然后我们可以使用双指针法查找满足条件的节点对。

如下是对应的 Python 代码实现：

def find_pairs(root, target):
    """
    :type root: TreeNode
    :type target: int
    :rtype: List[List[int]]
    """
    def inorder(node):
        if not node:
            return []
        return inorder(node.left) + [node.val] + inorder(node.right)
    
    def two_sum(vals, target):
        i, j = 0, len(vals) - 1
        pairs = []
        while i < j:
            if vals[i] + vals[j] == target:
                pairs.append([vals[i], vals[j]])
                i += 1
                j -= 1
            elif vals[i] + vals[j] < target:
                i += 1
            else:
                j -= 1
        return pairs
    
    vals = inorder(root)
    return two_sum(vals, target)

需要注意的是，这里的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树中节点的个数。如果我们使用哈希表来优化查找，时间复杂度可以进一步优化到 $O(n\log n)$ 或 $O(n)$，但这里就不再赘述。