算法测验 | SP2竞赛1 |第50章

本次竞赛主要涉及到以下算法：

• 贪心算法
• 动态规划算法
• 分治算法
• 回溯算法

贪心算法

贪心算法是一种基于贪心思想的算法。其主要思想是：每一步都采取当前状态下最优的选择，以期望最终得到全局最优解。

举例来说，对于任务调度问题，可以使用贪心算法。具体方案如下：

1. 按照任务截止时间的先后顺序，对所有任务进行排序。
2. 依次执行每个任务，每次选择剩余时间最少的任务去执行。

代码实现如下所示：

def task_scheduling(tasks):
    # tasks表示所有任务的列表，每个任务包含截止时间和执行时间属性
    tasks = sorted(tasks, key=lambda x: x.deadline)
    curr_time = 0
    for task in tasks:
        curr_time += task.duration
        if curr_time > task.deadline:
            return "任务无法完成！"
    return "任务完成！"

动态规划算法

动态规划是一种用于求解多阶段最优化问题的方法。其主要思想是，将原问题分解为若干个子问题，对每个子问题仅求解一次并保存结果，从而避免重复计算，最终得到原问题的最优解。

举例来说，对于最长上升子序列问题，可以使用动态规划算法。具体方案如下：

1. 定义状态：令dp[i]表示以第i个数结尾的最长上升子序列长度。
2. 状态转移方程：对于第i个数，枚举其前面所有小于它的数j，dp[i]取dp[j]+1的最大值。
3. 最终答案：dp数组中的最大值即为所求的最长上升子序列。

代码实现如下所示：

def lis(nums):
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

分治算法

分治算法是一种递归式的算法，其基本思想是将原问题分解为若干个子问题，递归求解子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。

举例来说，对于汉诺塔问题，可以使用分治算法。具体方案如下：

1. 如果只有一个盘子，则直接将其从from柱移动到to柱；
2. 否则，先将上面的n-1个盘子从from柱移动到辅助柱，然后将第n个盘子移动到to柱，最后将n-1个盘子从辅助柱移动到to柱。

代码实现如下所示：

def hanoi(n, from_peg, to_peg, aux_peg):
    if n == 1:
        print("将盘子从", from_peg, "移动到", to_peg)
    else:
        hanoi(n-1, from_peg, aux_peg, to_peg)
        print("将盘子从", from_peg, "移动到", to_peg)
        hanoi(n-1, aux_peg, to_peg, from_peg)

回溯算法

回溯算法是一种通过搜索所有可能的解来求解问题的算法。其主要思想是，枚举所有可能的解，搜索过程中遇到无法满足要求的情况时，回溯到上一步，继续搜索。

举例来说，对于8皇后问题，可以使用回溯算法。具体方案如下：

1. 从第一行开始，依次枚举每一列，判断该位置是否可以放置皇后；
2. 如果可以放置，则标记该位置为已占用，然后递归进入下一行；
3. 如果无法放置，则回溯到上一行，重新尝试其他列。

代码实现如下所示：

def solve_n_queens(n):
    def backtrack(row=0, diagonals=set(), anti_diagonals=set(), cols=set()):
        if row == n:
            result.append(list(board))
            return
        for col in range(n):
            diagonal = row - col
            anti_diagonal = row + col
            if (col not in cols and diagonal not in diagonals and anti_diagonal not in anti_diagonals):
                board[row][col] = "Q"
                cols.add(col)
                diagonals.add(diagonal)
                anti_diagonals.add(anti_diagonal)
                backtrack(row + 1, diagonals, anti_diagonals, cols)
                board[row][col] = "."
                cols.remove(col)
                diagonals.remove(diagonal)
                anti_diagonals.remove(anti_diagonal)

    board = [["."] * n for _ in range(n)]
    result = []
    backtrack()
    return result

以上四种算法是本次竞赛中使用频率较高的算法，程序员可以根据实际情况选择使用。