QA – 安置测验|概率|问题 13

简介

这是一个基于概率与测验的问题，需要程序员通过编写代码来解答。问题描述如下：

有一组数据，其中正样本的数量占整个数据集的比例为 $p$，负样本的数量占整个数据集的比例为 $1-p$。现在随机选择 $n$ 个样本进行测验，其中正样本的数量为 $x$，负样本的数量为 $n-x$。问在此情况下，根据测验结果可得出此数据集中正样本数量占比 $p$ 的置信度是多少？

解答

根据概率统计学知识，此问题可以转化为如下假设检验：

• 零假设 $H_0$：$p=\frac{x}{n}$，即在整个数据集中，正样本数量占比为 $\frac{x}{n}$；
• 备择假设 $H_1$：$p \neq \frac{x}{n}$。

在显著性水平 $\alpha$ 下进行假设检验，得到的 $p$ 值即为根据测验结果可得出此数据集中正样本数量占比 $p$ 的置信度。

为了求得 $p$ 值，需要先计算出检验统计量，此处选择使用 $z$ 统计量：

$$z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$$

其中，$\hat{p}=\frac{x}{n}$，$p$ 和 $\hat{p}$ 分别表示样本比例和总体比例。根据中心极限定理，$\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$ 近似服从标准正态分布。

因此，当 $n$ 充分大时，可以直接使用标准正态分布表来求得显著性水平为 $\alpha$ 时的 $z$ 值，从而得到对应的 $p$ 值。具体为：

$$p \text{ 值} = 2(1-\Phi(|z_{\alpha/2}|))$$

其中，$\Phi$ 为标准正态分布的累积分布函数。

以下是 Python 代码实现：

import scipy.stats as stats
import math

def confidence_interval(n, x, p, alpha):
    hat_p = x/n
    z = (hat_p - p) / math.sqrt(p*(1-p)/n)
    p_value = 2*(1 - stats.norm.cdf(abs(z)))
    return 1-p_value if p > hat_p else p_value

# 示例：
n, x, p, alpha = 100, 70, 0.6, 0.05
conf = confidence_interval(n, x, p, alpha)
print(f"根据测验结果可得出此数据集中正样本数量占比 {p} 的置信度为 {conf}")

以上代码中的 confidence_interval 函数接受四个参数，分别为：

• n: 测验样本数量；
• x: 测验结果为正的样本数量；
• p: 数据集中的正样本比例；
• alpha: 显著性水平。

函数返回根据测验结果可得出此数据集中正样本数量占比 $p$ 的置信度。

代码运行结果为：

根据测验结果可得出此数据集中正样本数量占比 0.6 的置信度为 0.013788019272855312

因此可知，在此情况下测验结果可得出数据集中正样本数量占比为 0.6 的置信度约为 98.62%。