QA – 安置测验|排列组合|问题 13

问题描述

有4个绿球，4个黄球和4个红球，现在需要把它们摆成一个4*3的矩阵，使得每行、每列、每个对角线上都有3个不同颜色的球，问有多少种不同的摆法？

解法

首先，我们可以确定第一列的排列方式有 $C_4^3 * C_4^2 * C_4^1 = 72$ 种，其中，$C_m^n$ 表示从 $m$ 个物体中选出 $n$ 个的组合方式数。

那么，我们需要在第二列和第三列中分别安置符合条件的球，而第二列的球需要考虑第一列的情况，第三列的球需要考虑第一列和第二列的情况，因此我们需要枚举第一列的每种情况，然后用递归的方式求解。

具体地，我们维护一个数组 $num[i][j]$ 表示第 $i$ 列中颜色为 $j$ 的球已经用了多少个，其中 $0\le i \le 3, 1 \le j \le 4$。令 $f(i, t1, t2, flag)$ 表示状态为：当前处理到第 $i$ 列，第 $i-1$ 列中的球已经用了 $t1$ 个，第 $i-2$ 列中的球已经用了 $t2$ 个，$flag$ 表示第 $i-1$ 列矩阵中使用的颜色和第 $i$ 列矩阵中使用的颜色是否相同。

在函数中我们先判断递归结束的条件，即处理完最后一列后停止。否则，我们根据状态进行递归，对于当前列的每种颜色，我们都需要枚举它是否已经在第 $i-1$ 列的矩阵中使用，如果是，则 $flag$ 为 $true$，否则 $flag$ 为 $false$。然后我们判断当前列中每种颜色是否还有可用的球，如果有，则进行递归并更新状态，最终返回结果即可。

动态规划的代码实现如下：

def solve(i, t1, t2, flag):
    if i == 3:
        if t1 == 3 and t2 == 3:
            return 1
        else:
            return 0

    if dp[i][t1][t2][flag] != -1:
        return dp[i][t1][t2][flag]

    cnt = 0
    for j in range(1, 5):
        if num[i][j] > 0:
            tmp = flag
            if i > 0 and color[i - 1] == j:
                tmp = True
            if not flag:
                for k in range(i):
                    if k <= i - 2:
                        if color[k] == j and (k == 0 or color[k - 1] != j):
                            tmp = True
                    else:
                        if color[k] == j:
                            tmp = True
            if tmp:
                num[i][j] -= 1
                color[i] = j
                cnt += solve(i + 1, t1 + (1 if j in [1, 2] else 0), t2 + (1 if j in [2, 3] else 0), flag or (color[i - 1] == j))
                color[i] = 0
                num[i][j] += 1

    dp[i][t1][t2][flag] = cnt
    return cnt


def main():
    for i in range(4):
        num[i][1] = num[i][2] = num[i][3] = num[i][4] = 4
    ans = solve(0, 0, 0, False)
    print(ans)

总结

本题需要用到排列组合知识和动态规划算法。排列组合知识用于计算符合条件的排列种数，动态规划算法则用于枚举不同的状态，求出所有符合条件的情况数量。需要注意的是，在计算状态时需要维护好当前列使用的颜色和下一列使用的颜色是否相同的信息，否则可能会出现重复计数的情况。同时，我们也可以采用其他高级算法来解决此类问题，让代码更加简洁、高效。