RD Sharma 解决方案——第11类——第8章 转换公式——练习8.1

RD Sharma 是一套面向高中数学教育的教材，并且富含大量的实用题目，对于提高学生的数学思维和解题能力有着重要的作用。本文主题为 RD Sharma 解决方案——第11类——第8章 转换公式——练习8.1，旨在帮助程序员更好地实现对该教材的阅读和实践。

练习8.1

本次练习的主要内容为：利用基本的代数恒等式将给定的表达式简化。

给定表达式：$\frac {1 + sinx}{1 - sinx} + \frac {1 - cosx}{1 + cosx} - 2cosx$

我们需要将其通过代数恒等式转化为一个更简单的形式。

解题思路

我们可以将 $\frac {1 + sinx}{1 - sinx}$ 和 $\frac {1 - cosx}{1 + cosx}$ 分别转化为一个分式。

举例来说，我们可以将 $\frac {1 + sinx}{1 - sinx}$ 转化为：

$$\frac {1 + sinx}{1 - sinx} = \frac {(1 + sinx)^2}{1 - sin^2x} = \frac {1 + 2sinx + sin^2x}{cos^2x}$$

类似地，我们也可以将 $\frac {1 - cosx}{1 + cosx}$ 转化为：

$$\frac {1 - cosx}{1 + cosx} = \frac {(1 - cosx)^2}{1 - cos^2x} = \frac {1 - 2cosx + cos^2x}{sin^2x}$$

将以上两式代入原表达式，进行化简，可以得到：

$$\frac {1 + 2sinx + sin^2x}{cos^2x} + \frac {1 - 2cosx + cos^2x}{sin^2x} - 2cosx$$

化简后，我们可以将所有的分子乘以 $sin^2x$ 和 $cos^2x$，同时将分母变成通分分母化简表达式。

最终，化简后可得：

$$2 + \frac {sin^3x + cos^3x - sinx - cosx}{sin^2xcos^2x}$$

代码实现

以下为该表达式的代码实现：

$$\frac {1 + sinx}{1 - sinx} + \frac {1 - cosx}{1 + cosx} - 2cosx$$

$\frac {1 + sinx}{1 - sinx}$ 可以表示为

$$\frac {1 + sinx}{1 - sinx} = \frac {(1 + sinx)^2}{1 - sin^2x} = \frac {1 + 2sinx + sin^2x}{cos^2x}$$

$\frac {1 - cosx}{1 + cosx}$ 可以表示为

$$\frac {1 - cosx}{1 + cosx} = \frac {(1 - cosx)^2}{1 - cos^2x} = \frac {1 - 2cosx + cos^2x}{sin^2x}$$

代入原式，得到

$$\frac {1 + 2sinx + sin^2x}{cos^2x} + \frac {1 - 2cosx + cos^2x}{sin^2x} - 2cosx$$

化简后得到

$$2 + \frac {sin^3x + cos^3x - sinx - cosx}{sin^2xcos^2x}$$

总结

本文介绍了 RD Sharma 解决方案——第11类——第8章 转换公式——练习8.1的内容和思路，并提供了相应的代码实现。希望能对你实现对该教材的学习和应用有所帮助。