11类RD Sharma解决方案–第8章转换公式–练习8.2 |套装1

简介

11类RD Sharma解决方案是指印度最知名的数学家RD Sharma的数学解决方案。该方案适用于印度中学教育从六年级到十二年级的教学，并涵盖了所有主题。本文介绍的是该方案中的第8章，即转换公式（Transformation Formulae）的练习8.2。

练习8.2内容概览

练习8.2涉及到以下主要内容：

• 证明平方公式
• 证明和差公式
• 证明倍角公式
• 证明半角公式

学生需要了解这些公式的概念、应用和证明。本练习旨在增强学生对转换公式的理解和掌握程度。

解决方案

11类RD Sharma解决方案提供了详细的练习解答，以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。以下是练习8.2的解决方案示例：

证明平方公式

我们可以利用三角公式来证明平方公式。具体而言，我们假设

$$ \sin x + \cos x = A $$

然后我们将三角函数平方并将它们相加:

$$ \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x $$

接着，我们想要将右侧的 $2 \sin x \cos x$ 分别表示为 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的形式，这样我们就可以使用和差公式得出 $A^2$ 的表达式。

$$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $$

$$ \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x $$

将上述公式代入原始公式得:

$$ 1 + \sin 2x = A^2 $$

证明和差公式

学生应掌握角的和差公式的概念和应用。通过使用欧拉公式，可以方便地证明三角函数的和差公式。

$$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $$

$$ e^{-ix} = \cos x – i \sin x $$

对上述公式取平均值得出 $\cos x$ 的公式：

$$ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$

对上述公式取差值得出 $\sin x$ 的公式：

$$ \sin x = \frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i} $$

通过这些公式，我们可以证明出角的和差公式。

证明倍角公式和半角公式

倍角公式和半角公式是角的和差公式的重要应用。通过使用和差公式，我们可以得出以下公式。

倍角公式：

$$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $$

$$ \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x $$

半角公式：

$$ \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 – \cos x}{2}} $$

$$ \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} $$

在实践中，我们可以使用三角变换将半角公式转换为任何与其相关的公式。这些公式非常有用，尤其是在解决三角函数的较困难的问题时。