算法测验 | 须藤放置[1.6] | 问题7

在须藤放置这个游戏中，有一个 4×4 的方格，每个方格内有一个整数，可以通过交换任意两个方格来改变方格内的数字。现在的问题是，怎样才能使交换后的方格的第 i 行第 j 列的数字最小。

本题考察的是对于某种需求，如何使用适当的算法解决问题。

思路

首先，需要找到在第 i 行第 j 列放置的最小值，并记录其坐标。然后，在该行的其他位置寻找最小值，记录其坐标。最后，将该行第 j 列和记录的最小值处的坐标对应位置交换。

代码如下：

def swap_min(grid: List[List[int]], i: int, j: int):
    min_row = i
    min_col = j
    for row in range(i, 4):
        for col in range(j, 4):
            if grid[row][col] < grid[min_row][min_col]:
                min_row, min_col = row, col
    for col in range(4):
        if grid[i][col] < grid[min_row][min_col]:
            min_col = col
    if i != min_row or j != min_col:
        grid[i][j], grid[min_row][min_col] = grid[min_row][min_col], grid[i][j]

示例

grid = [[1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12], [13,14,15,16]]
swap_min(grid, 1, 2)
print(grid)
# [[1, 2, 3, 4], [5, 6, 8, 7], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16]]

复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 n 为矩阵的维数。因为需要在矩阵中寻找最小值，需要遍历所有元素，时间复杂度为 $O(n^2)$。而在最坏情况下，每行都要遍历一遍来寻找最小值，再加上一次遍历列来确认最小值的列坐标，因此复杂度为 $O(n^2)$。

本算法的空间复杂度为 $O(1)$，因为只需要常数级别的空间来存储变量。