算法测验-须藤放置[1.5]-问题9

介绍

算法测验-须藤放置[1.5]-问题9是一道经典的算法问题，旨在考察程序员的逻辑思维和编程实现能力。该问题给出一个正整数 $N$，要求出所有满足以下条件的三元组 $(a, b, c)$：

• $a, b, c$ 均为正整数；
• $a \le b \le c$；
• $a^2 + b^2 = c^2$；
• $a + b + c = N$。

题目要求输出所有可能的三元组。

算法思路

该算法问题可以使用暴力枚举法和剪枝优化法两种算法思路解决。

暴力枚举法

暴力枚举法是最直接的算法思路，从 $1$ 开始枚举 $a, b, c$ 的取值，逐个验证是否满足条件。其时间复杂度为 $O(N^3)$，随着 $N$ 的增大，耗时也会越来越长。

剪枝优化法

剪枝优化法就是在暴力枚举法的基础上，通过一些条件限制来减少不必要的枚举，从而提高程序效率。比如，我们可以限制 $a$ 的取值范围，从 $1$ 到 $\lfloor \frac{N}{3} \rfloor$；对于 $b$ 和 $c$，由于 $c = N - a - b$，可在限制 $a$ 的取值范围后，同时限制 $b$ 和 $c$ 的取值范围，减少不必要的计算。此外，我们还可以利用毕达哥拉斯三元组的特点，即：若 $a^2 + b^2 = c^2$，则 $a$ 和 $b$ 一奇一偶，$c$ 一定是奇数。因此，在枚举 $b$ 时，只需要枚举偶数，就可以省去一半时间。

代码实现

下面是使用剪枝优化法的 Python 代码实现：

def find_pythagorean_triples(n):
    for a in range(1, n // 3 + 1):
        for b in range(a + 1, (n - a) // 2 + 1, 2):
            c = n - a - b
            if a * a + b * b == c * c:
                print(a, b, c)

其中，n 为输入的正整数，find_pythagorean_triples 函数输出满足条件的所有三元组。

总结

算法测验-须藤放置[1.5]-问题9是一道经典的算法问题，可以通过暴力枚举法和剪枝优化法两种算法思路解决。剪枝优化法可以减少不必要的计算，提高程序效率。使用 Python 代码实现时，只需要枚举偶数，在计算开方时可以使用 ** 运算符，比调用 sqrt 函数更快。