门 | GATE-CS-2001 | 问题2

这是一道来自 GATE-CS-2001 的问题，主要考察对于离散数学知识的理解与应用。

问题描述

给定一个开关门系统，包含 100 个门。开始时，所有门都是关闭的。有 100 个小孩逐个进入房间，每一个小孩都会执行以下操作：

• 对于编号为 j 的门，如果它的编号是该小孩进入房间的编号的因数（即能被整除），则将门的状态取反。
• 注意，第一个小孩只会将门的状态从关闭变为打开。

最终，所有小孩都进入房间后，哪些门会是打开的？

解题思路

我们可以用一个长度为 100 的布尔型数组 doors 来记录每个门的状态。初始时，所有门的状态都为关闭，因此可以用一个循环来初始化：

doors = [False] * 100

对于每个小孩进入房间，我们需要判断他所能影响到的所有门，然后将这些门的状态取反。具体地，我们可以用另一个循环来实现：

for j in range(1, 101):
  if i % j == 0:
    doors[j-1] = not doors[j-1]

其中 i 表示当前进入房间的小孩的编号，j 表示门的编号。注意，由于 Python 的数组下标从 0 开始，因此我们需要将门的编号减 1 才能正确访问 doors 数组。

最后，我们只需要统计哪些门的状态为打开的，输出它们的编号即可：

for j in range(100):
  if doors[j]:
    print(j+1)

完整代码

doors = [False] * 100

for i in range(1, 101):
  for j in range(1, 101):
    if j % i == 0:
      doors[j-1] = not doors[j-1]

for j in range(100):
  if doors[j]:
    print(j+1)

总结

这道题考察了对于离散数学概念的理解和应用能力。具体地，我们需要理解因数的概念，并能将其与程序实现相结合，从而得到正确的解答。