GATE-CS-2001 Problem 5

这是一个关于查找字符串中最长回文子序列长度的问题。下面是一个简单的动态规划解决方案：

def longest_palindrome(s):
    n = len(s)
    # dp 表示 s[i...j] 是否为回文字符串
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]

    # 所有长度为 1 的子串都是回文字符串
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True

    # 枚举子串长度 l 为 2、3、...n，最后计算出 s[0...n-1] 的最长回文子序列长度
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            if l == 2 and s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = True
            elif s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1]

    # 枚举长度为 l 的子串，找出其中最长的回文子序列
    max_len = 0
    for l in range(1, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            if dp[i][j]:
                max_len = max(max_len, l)

    return max_len

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$。我们可以通过滚动数组技巧将空间复杂度优化为 $O(n)$。

该算法利用动态规划思想，注意到一个字符串的回文性质与其子串的回文性质有关。具体而言，如果一个字符串 $s_{i...j}$ 是回文字符串，那么它的左右两侧字符 $s_i$ 和 $s_j$ 肯定相等，而 $s_{i+1...j-1}$ 也必须是回文字符串。因此我们可以建立一个二维数组 $dp$，其中 $dp_{i,j}$ 表示 $s_{i...j}$ 是否为回文字符串。枚举子串长度 $l$ 为 $2, 3, ..., n$，枚举子串起始位置 $i$，那么 $s_{i...j}$ 是否为回文字符串取决于其左右两侧字符是否相等，以及 $s_{i+1...j-1}$ 是否为回文字符串，即：$dp_{i,j} = (s_i == s_j \text{ and } dp_{i+1,j-1})$。

最后我们枚举所有长度为 $l$ 的子串，找出其中最长的回文子序列即可。注意到一个子序列不一定是连续的，因此我们需要针对子序列的问题进行修改。具体而言，如果 $s_{i...j}$ 是回文字符串，那么它的长度 $l = j - i + 1$ 就是 $s_{i...j}$ 的最长回文子序列长度。

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