门 GATE-CS-2001 问题 6

本篇主题介绍 GATE-CS-2001 中的问题 6，是一道和编程算法相关的问题。问题如下：

给定一个序列 X = <a1, a2, ..., am> 和 Y = <b1, b2, ..., bn>，找出它们的最长公共子序列并打印出来。

这是一个动态规划的问题，可以使用 DP 算法求解。我们首先定义 DP[i][j] 表示 X 中前 i 个元素和 Y 中前 j 个元素的最长公共子序列的长度。根据 DP 的思想，我们可以得出递推公式：

DP[0][j] = 0 (j = 0, 1, ..., n) DP[i][0] = 0 (i = 0, 1, ..., m) DP[i][j] = DP[i-1][j-1] + 1 if Xi = Yj max(DP[i-1][j], DP[i][j-1]) if Xi ≠ Yj

其中，DP[0][j] 和 DP[i][0] 用于初始化，表示空序列和非空序列的情况。第三个递推公式则是对于当前位置 i, j，如果 X[i] 和 Y[j] 相等，最长公共子序列长度应该加一；否则取左方和上方的最大值。

接下来，我们需要输出最长公共子序列。我们可以在找到 DP[m][n]（X 和 Y 分别有 m, n 个元素）的时候，从右下角开始向左上角倒推，如果 X[i] = Y[j]，说明这个元素在最长公共子序列中出现，将其输出并向左上方继续寻找。

下面是这个问题的 Python 代码实现（假设 X 和 Y 已经定义好了）：

m, n = len(X), len(Y)
DP = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
    for j in range(1, n+1):
        if X[i-1] == Y[j-1]:
            DP[i][j] = DP[i-1][j-1] + 1
        else:
            DP[i][j] = max(DP[i-1][j], DP[i][j-1])

# 输出最长公共子序列
i, j = m, n
result = []
while i > 0 and j > 0:
    if X[i-1] == Y[j-1]:
        result.append(X[i-1])
        i -= 1
        j -= 1
    elif DP[i-1][j] > DP[i][j-1]:
        i -= 1
    else:
        j -= 1
result.reverse()
print(result)

注意到上面的代码中，我们在递推 DP 数组的时候，是以 X[i-1] 和 Y[j-1] 对应的元素是否相等进行判断的。这是因为 DP[i][j] 表示的是 X 中前 i 个元素和 Y 中前 j 个元素的最长公共子序列长度，而 X[i-1] 和 Y[j-1] 才是真正的第 i 个和第 j 个元素。这一点需要特别注意。

另外需要注意的是，这个问题的时间复杂度为 O(mn)。如果 m 和 n 很大，需要考虑进一步优化算法。