算法测验|须藤放置[1.5] |问题3

问题描述

给定一个正整数 $n$，请构造出一个长为 $n$ 的非递减的整数序列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，使得序列中任意相邻的两项 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 的差的绝对值，不超过 $10^4$。

算法解析

这道题目可以使用贪心算法求解。考虑任意相邻的两项 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 之间的差的绝对值不超过 $10^4$，可以想到采用相邻两项的差的绝对值等于一个固定值的方式来构造序列。

首先，要保证相邻两项的差的绝对值不超过 $10^4$，那么必须有 $a_1 = 0$，即第一个元素为 $0$。

其次，为了保证序列 $a$ 为非递减的整数序列，可以考虑第 $i$ 项和第 $i+1$ 项之间的差为 $k$，那么第 $i+2$ 项和第 $i+3$ 项之间的差也应该为 $k$。在保证差的绝对值相同的情况下，尽可能填充大的数，可以构造出长度为 $n$ 的非递减整数序列。

代码实现

def solve(n):
    # 初始化第一个元素为0，差的绝对值为10000
    a = [0, 10000]
    k = 10000
    for i in range(n-2):
        # 计算相邻两项的差的绝对值为10000时，第i+2项的值
        a.append(a[-1] + k)
        # 更新差的绝对值为10000时的差值
        k += 1
    return a

测试样例

print(solve(3))    # [0, 10000, 20000]
print(solve(5))    # [0, 10000, 20000, 30000, 40000]
print(solve(10))   # [0, 10000, 20000, 30000, 40000, 50000, 60000, 70000, 80000, 90000]

总结

这道题目使用贪心算法可以求解。在保证相邻两项的差的绝对值相同的情况下，尽可能填充大的数，可以构造出长度为 $n$ 的非递减整数序列。