门|门CS 2012 |问题 24

问题描述

有 n 个开关，每个开关都可以打开或关闭，当这些开关配对时，第 i 个开关与第 i+1 个开关相邻。也就是说，当最后一个开关与第一个开关相邻时，这 n 个开关也形成一个环。

你不知道每个开关控制的是什么，但是你知道：

1. 标有奇数号的开关和自己相邻的两个开关的状态不同。
2. 标有偶数号的开关和自己相邻的两个开关的状态相同。

你需要找出一组旋转后的开关状态，满足上述两个条件。

输入格式

第一行一个整数 n。

输出格式

一个由 0 和 1 构成的字符串，表示一组可能的解，若无解则输出-1。

样例输入

4

样例输出

0101

数据范围

n 的范围为1~100。

解题思路

对于题目中的两个条件，我们可以根据其奇偶性来判断是否相邻两开关状态是否相同。

我们可以考虑直接模拟整个过程，不妨从开关 1 开始，模拟时我们记录当前开关是否打开，下一个开关的奇偶性，以及前一个开关是否和当前开关相邻。根据题目中的两个条件，我们就可以得到下一个开关的状态了。

每当我们更新了一个开关的状态，我们就需要确定下一个开关的特征。如果当前开关是奇数开关，那么下一个开关一定是偶数开关；否则当前开关是偶数开关，下一个开关一定是奇数开关。在处理的过程中需要链接一下首尾两个。

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，我们需要遍历所有开关判断开关的状态。

空间复杂度：$O(n)$，我们需要开辟数组保存每一个开关的状态。

思考拓展

这道题中我们可以注意到存在多组解，如何得到全部解？

n = int(input())
switches = [0] * n

if n % 2 == 1:
    print("-1")
else:
    switches[0] = 1
    for i in range(1, n):
        if i % 2 == 1:
            switches[i] = 1 if switches[i-1] == 0 else 0
        else:
            switches[i] = 1 if switches[i-1] == switches[i-2] else 0

    if switches[n-1] == switches[n-2] or switches[n-1] == switches[0]:
        print("".join(map(str, switches)))
    else:
        print("-1")

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