门|门CS 2013 |第 47 题

题目描述

给定一棵树，求出从任意起点到任意终点的简单路径（此路径上没有重复的节点）上，深度最浅的节点的深度值。

解题思路

这是一道比较经典的树上最深公共祖先（LCA）的问题，可以使用倍增算法或者树剖算法进行求解。我们假设有两个点 $u$ 和 $v$，它们的 $\text{LCA}$ 为 $x$，那么两个点到它们的 $\text{LCA}$ 的路径上最深的结点就是 $\max{h(u,x), h(v,x)}$。其中 $h(u,x)$ 表示点 $u$ 到点 $x$ 的深度。

倍增算法

倍增算法的时间复杂度是 $O(n \log n)$，这里假设树的根节点为 $r$。我们首先求出每个节点的深度和它们与根节点的距离，然后预处理出每个节点的 $2^d$ 级祖先，其中 $d$ 是一个常数。我们可以预处理出 $2^d$ 级祖先，然后进行查询操作。在查询时，假设要查询 $u$ 和 $v$ 两个点的深度值，那么可以将 $u$ 和 $v$ 沿着它们的 $2^d$ 级祖先分别跳到它们的 $\text{LCA}$，然后再计算它们的深度值。

具体实现过程可以参考这篇博客。

树剖算法

树剖算法的时间复杂度是 $O(n \log n)$，与倍增算法的时间复杂度相同。树剖算法的思路是给每个节点标记一个时间戳，然后将一条路径划分成若干条链，每条链都用线段树来维护，查询的时候把路径分成若干条链的根路径和剩下的部分就可以了。

具体实现过程可以参考这篇博客。

参考资料

• 算法竞赛进阶指南（作者: 胡伯涛）

代码实现

以下是使用倍增算法实现的代码片段：

int f[N][M], d[N], dis[N];
vector<int> G[N];

void dfs(int u, int fa)
{
    d[u] = d[fa] + 1;
    f[u][0] = fa;
    for (int i = 1; i <= M; i++)
        f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
    for (auto v : G[u])
    {
        if (v != fa)
        {
            dis[v] = dis[u] + 1;
            dfs(v, u);
        }
    }
}

int lca(int u, int v)
{
    if (d[u] < d[v])
        swap(u, v);
    for (int i = M; i >= 0; i--)
        if (d[f[u][i]] >= d[v])
            u = f[u][i];
    if (u == v)
        return u;
    for (int i = M; i >= 0; i--)
        if (f[u][i] != f[v][i])
        {
            u = f[u][i];
            v = f[v][i];
        }
    return f[u][0];
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    while (m--)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        int p = lca(u, v);
        cout << max(dis[u] - dis[p], dis[v] - dis[p]) << endl;
    }
    return 0;
}

以下是使用树剖算法实现的代码片段：

int fa[N], dep[N], siz[N], son[N], top[N], dfn[N], rnk[N], tot;
vector<int> G[N];

void dfs1(int u, int f)
{
    dep[u] = dep[f] + 1;
    fa[u] = f;
    siz[u] = 1;
    for (int v : G[u])
    {
        if (v == f)
            continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[u]])
            son[u] = v;
    }
}

void dfs2(int u, int t)
{
    top[u] = t;
    dfn[u] = ++tot;
    rnk[dfn[u]] = u;
    if (!son[u])
        return;
    dfs2(son[u], t);
    for (int v : G[u])
    {
        if (v == fa[u] || v == son[u])
            continue;
        dfs2(v, v);
    }
}

int getlca(int u, int v)
{
    while (top[u] != top[v])
    {
        if (dep[top[u]] < dep[top[v]])
            swap(u, v);
        u = fa[top[u]];
    }
    if (dep[u] > dep[v])
        swap(u, v);
    return u;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 1);
    while (m--)
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        int p = getlca(u, v);
        printf("%d\n", max(dep[u] - dep[p], dep[v] - dep[p]));
    }
    return 0;
}