门

本题是 GATE-CS-2017（Set 1）中的第 3 道问题。

问题描述

假设你有 n 个开关，它们都连着一个灯，这个灯有 m 种不同的颜色。你必须按照给定的顺序依次按下每个开关，每按一下灯的颜色就会变化。当按完所有开关后，灯的颜色必须是指定的目标颜色。然而，有些开关是“坏掉的”，它们不会像正常的开关那样操作，所以你需要使用好的开关来替换坏的开关，以确保目标颜色可以实现。你的任务是找到在替换了最小数量的开关后可以达到目标颜色的最小数量。

下文将使用“开关”和“门”两个词交替使用。

解题思路

这是一道基于图论的搜索问题。为了找到解决方案，我们需要使用广度优先搜索（BFS）。

我们可以在每个维度上按顺序遍历每个可能的状态。为了达到目标状态，我们将每个状态表示为一组 (g1, g2, ..., gn)，其中 g1 是灯初始状态和第一个开关的关系，g2 是灯和前两个开关的关系，以此类推。

在我们的 BFS 实现中，我们需要表现出当前状态和下一个状态之间的关系。我们将通过检查当前状态中的坏门来决定哪些门可被替换。我们可以通过将坏门替换为其他门，然后构造出每个可能的下一个状态来处理扩展它。

为了避免出现无限递归的错误，我们需要在搜索过程中维护一个过程中已访问的状态的列表，这样我们就可以避免重复搜索相同的状态。

最后，我们只需要确定所有状态的最少替换门数。

具体实现可以参考下面的代码片段。

# 初始化变量
n = 10  # 门数
m = 3  # 颜色数
bad_gates = {3, 6, 9}  # 坏门

# 初始化颜色状态和第一个门的状态
color_state = [0] * n
gate_state = [
    [1, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [0, 0, 1],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 0, 0],
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 0],
]

# 初始化 BFS 队列
queue = [(tuple(gate_state[0]), 0, [0]*n)]

# 初始化已访问状态列表
visited_states = set()

# BFS
while queue:
    # 从队列中弹出一个状态进行处理
    gate_state, replacements, path = queue.pop(0)

    # 如果当前状态已经被访问过，忽略此状态
    if gate_state in visited_states:
        continue
    visited_states.add(gate_state)

    # 检查当前状态是否符合目标状态
    if all(a == b for a, b in zip(color_state, gate_state[-1])):
        print('Minimum number of gate replacements: {}'.format(replacements))
        print('Path: {}'.format(path))
        break

    # 扩展下一个状态
    for i in range(n):
        # 仅从坏门替换门
        if i in bad_gates:
            for j in range(n):
                # 排除当前门和坏门
                if j != i and j not in bad_gates:
                    new_gate_state = gate_state[:i] + [gate_state[j]] + gate_state[i+1:j] + [gate_state[i]] + gate_state[j+1:]
                    queue.append((tuple(new_gate_state), replacements+1, path+[i+1, j+1]))

结论

在本问题中，我们使用了广度优先搜索来找到达到目标状态所需的最少替换器数量。我们还展示了如何为该搜索实现一个通用的 BFS 架构。我们希望这篇文章能够帮助读者了解基于图论的搜索问题和 BFS 的应用。