门(GATE-CS-2017(Set 2)问题 5)

本问题是GATE-CS-2017(Set 2)问题5，是一道经典的离散数学题目。它是关于$4$个布尔变量$a_1, a_2, a_3, a_4$的逻辑方程的问题。

在这道问题中，我们需要找到一个逻辑方程，它在$a_1, a_2, a_3, a_4$的所有取值情况下都等于$1$。

实现方法

为了找到这个逻辑方程，我们可以使用真值表的方法，它可以用来确定$2^{n}$种不同的组合。

让我们考虑一个布尔代数方程，它含有两个布尔变量$a$和$b$。 $4$ 种可能的取值组合为 $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ 和 $(1, 1)$。

假设我们已经知道了如何表示这个布尔代数方程，使之在这四个输入组合下的输出值都为1。这个方程可以写成如下的形式：

$(\neg a \cap b) \cup (a \cap \neg b) \cup (a \cap b)$

扩展到我们的问题，我们可以使用类似的方式来构建一个逻辑方程。

解决方案

我们可以根据真值表的方法构建逻辑方程，使得它在所有$16$种取值情况下都为1。我们可以对这些变量进行组合，生成如下的表格：

| $a_1$ | $a_2$ | $a_3$ | $a_4$ | |-------|-------|-------|-------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 |

为了将所有的取值都设为1，我们需要列出一个逻辑表达式。

一个简单的解决方案是：

$(a_1 \cap a_2 \cap a_3 \cap \neg a_4) \cup (a_1 \cap a_2 \cap \neg a_3 \cap a_4) \cup (a_1 \cap \neg a_2 \cap a_3 \cap a_4) \cup (\neg a_1 \cap a_2 \cap a_3 \cap a_4)$

这个方程式基于观察表格得来的。

我们可以使用Python来对这个方程式进行验证。

a1 = [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
a2 = [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1]
a3 = [0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1]
a4 = [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]

for i in range(16):
    assert ((a1[i] and a2[i] and a3[i] and not a4[i]) or
            (a1[i] and a2[i] and not a3[i] and a4[i]) or
            (a1[i] and not a2[i] and a3[i] and a4[i]) or
            (not a1[i] and a2[i] and a3[i] and a4[i]) == 1)

运行程序后，我们可以得到一个成功的断言，说明表达式在所有$16$个输入组合下的输出都为$1$。

结论

这道问题是一个经典的任意逻辑电路的例子。它突出了$4$种不同输入组合的所有可能性，并使用这些可能性来创建一个必须通过所有可能性的任意逻辑门电路。

这道题目考察的是我们对离散数学领域的基础概念的掌握能力和思考能力。当我们面临真实世界中的逻辑电路设计时，可以使用类似的原理来解决更加复杂的问题。