GATE-CS-2017(Set 1) Question 7

该问题旨在寻找一个给定数组的最长单峰子序列（LBS）。单峰序列是指对于任何1 <= i <= j <= k <= n，a [i] <a [i + 1] <... <a [j-1] <a [j]> a [j + 1]> ...> a [k-1]> a [k]。所以单峰序列从头开始单调递增，然后单调递减。

算法

一个简单的解决方案是通过穷举法来找到最长单峰子序列。这个解决方案需要枚举所有子序列，并检查它们是否是单峰的。这将需要O（$2^n$）的时间复杂度，其中n是序列的长度。因此，这个解决方案不可行。

可以使用动态编程来解决这个问题。我们可以利用前面计算出的子问题的结果，一步步推导出更大的规模，直到我们得到最终答案。让LIS表示一个给定序列的最长递增子序列，LDS表示最长递减子序列，那么LBS将是LIS和LDS之和减去1。

让n是给定序列的长度。让dp [i]表示以号码i结束的最长单峰子序列的长度。我们可以用以下公式计算dp [i]：

dp [i] = LIS [i] + LDS [i] - 1，其中LIS [i]是以i结尾的最长递增子序列的长度，LDS [i]是以i结束的最长递减子序列的长度。

LIS和LDS可以通过运行标准动态规划算法来计算。让L [i]表示以i结尾的最长递增子序列的长度，R [i]表示以i结束的最长递减子序列的长度。那么可以使用以下公式计算L和R：

L [i] = max {1 + L [j]}，其中0 <= j <i且a [j] <a[i]
R [i] = max {1 + R [j]}，其中i <= j <n且a [j]> a [i]

代码

以下是用于计算LBS的Python代码：

def lbs(arr):
    n = len(arr)

    # calculate LIS
    l = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j]:
                l[i] = max(l[i], 1 + l[j])

    # calculate LDS
    r = [1] * n
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        for j in range(n - 1, i, -1):
            if arr[i] > arr[j]:
                r[i] = max(r[i], 1 + r[j])

    # calculate LBS
    lbs_len = 1
    for i in range(n):
        lbs_len = max(lbs_len, l[i] + r[i] - 1)

    return lbs_len

该函数接受一个数组作为输入，返回LBS的长度。该算法的时间复杂度为O（$n^2$），因为对于每个i，它需要计算LIS [i]和LDS [i]，并计算总和。但是，它可以通过使用更复杂的数据结构来进行优化，例如Fenwick树和线段树。