门 | GATE-CS-2017(Set 1)|问题9

本题目是 GATE-CS-2017(Set 1) 的第九个问题，考察了对数据结构和算法的掌握能力。

题目描述

给定一个无向图 $G=(V,E)$ ，其中每个顶点都带有一个正整数值 $w(v)$。一条简单路径被称为“重重路径”，当且仅当它的每个顶点的值都相等。求图中的所有“重重路径”的数量。

问题分析

这道题目是典型的图论问题，并且涉及到统计“重重路径”的数量。为了解决这个问题，需要采取一些有效的技术和算法。

首先，我们需要注意到“重重路径”是必须是简单路径，即不包含环路的路径。如果一条路径中包含重复的节点，则该路径不符合要求。此外，“重重路径”的节点值必须均相等。因此，我们需要一种方法来确定具有相同节点值的节点集合。

基于此，我们可以采用深度优先搜索（DFS）来遍历整个图，并使用一个数据结构来存储当前节点的相邻节点，以及他们的值。在搜索过程中，我们可以遍历所有组合，并分别计算所有符合条件的重重路径的数量。最后，我们可以将计算得到的结果相加，得到整个图中所有 “重重路径”的数量。

代码实现

以下是 Python 代码的实现，其中使用了深度优先搜索和组合计算来解决问题。

import collections
import itertools
class Node:
    def __init__(self, val):
        self.value = val
        self.neighbors = []
 
def countHeavyPaths(graph):
    heavyPathCount = 0
    for source in graph:
        heavyPathCount += dfsHeavyPath(source, dict())
    return heavyPathCount
 
def dfsHeavyPath(node, heavyKeys):
    count = 0
    if node is None or node.value in heavyKeys:
        return count
    curKey = node.value
 
    heavyKeys[curKey] = heavyKeys.get(curKey, 0) + 1
    neighValues = [neighNode.value for neighNode in node.neighbors]
    for L in range(2, len(neighValues) + 1):
        for subset in itertools.combinations(neighValues, L):
            if all(map(lambda x: x == curKey, subset)):
                count += 1
 
    for neighbor in node.neighbors:
        count += dfsHeavyPath(neighbor, heavyKeys)
 
    heavyKeys[curKey] = heavyKeys[curKey] - 1
    if heavyKeys[curKey] == 0:
        del heavyKeys[curKey]
 
    return count
 
def buildGraph(vertex, edges):
    graph = collections.defaultdict(Node)
    for v in vertex:
        graph[v] = Node(v)
    for u, v in edges:
        graph[u].neighbors.append(graph[v])
        graph[v].neighbors.append(graph[u])
    return graph.values()
 
if __name__ == '__main__':
    vertex = range(1, 5)
    edges = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (1, 3), (2, 4)]
    example_graph = buildGraph(vertex, edges)
    print(countHeavyPaths(example_graph))

总结

本题目考察了对图论和算法的熟练掌握，需要注意问题描述中的“重重路径”限制，避免出现无效路径，并使用深度优先搜索和组合计算等技术来解决问题。