问题7：门 | 门CS 2013

本题是一道经典的图论问题，要求在一个带权有向图中找到从源点到终点的最小路径并输出其路径上每个节点的编号。

问题描述

给定一个含有 $n$ 个节点的有向图 $G = (V, E, w)$，其中 $V$ 表示节点集合，$E$ 表示边集合，$w$ 表示每条边的权重值。每个节点 $i$ 都有一个状态 $g_i$，初始状态为 0。每个节点都有一个门，当且仅当其状态 $g_i \neq 0$ 时门才可以打开。每次可以选择某个节点的状态 $g_i$ 加一，但是每个节点的状态不得超过 $2$。求从源点 $s$ 到终点 $t$ 的最小路径，并输出其路径上每个节点的编号。

解题思路

本题可以使用 Dijkstra 算法求解最短路，并用 BFS 求解路径，具体算法如下：

1. 将源点 $s$ 加入集合 $S$，并把源点 $s$ 的 $dist$ 值设为 $0$，将所有其他点的 $dist$ 值设为 $+\infty$。
2. 重复执行以下操作，直到所有点都被加入集合 $S$ 中：
   1. 在集合 $V - S$ 中选择 $dist$ 值最小的点 $u$，将其加入集合 $S$。
   2. 对于 $u$ 的每个邻居 $v$，如果 $v$ 的 $dist$ 值大于 $u$ 的 $dist$ 值加上 $u$ 与 $v$ 之间的边权 $w(u, v)$，则更新 $v$ 的 $dist$ 值为 $u$ 的 $dist$ 值加上 $u$ 与 $v$ 之间的边权 $w(u, v)$。
3. 使用 BFS 找到从源点 $s$ 到终点 $t$ 的最短路径，并输出路径上每个节点的编号。

代码实现

import heapq
from collections import deque

def dijkstra(graph, source, target):
    dist = {v: float('inf') for v in graph.keys()}
    dist[source] = 0
    queue = [(0, source)]
    while queue:
        (cost, u) = heapq.heappop(queue)
        if u == target:
            break
        if cost > dist[u]:
            continue
        for v, c in graph[u].items():
            alt = dist[u] + c
            if alt < dist[v] and alt <= 2:
                dist[v] = alt
                heapq.heappush(queue, (alt, v))
    return dist

def bfs(graph, source, target, dist):
    queue = deque([source])
    parent = {source: None}
    while queue:
        u = queue.popleft()
        if u == target:
            path = []
            while u is not None:
                path.append(u)
                u = parent[u]
            return list(reversed(path))
        for v in graph[u]:
            if dist[v] == dist[u] + graph[u][v] and parent.get(v) is None:
                parent[v] = u
                queue.append(v)

def shortest_path(graph, source, target):
    dist = dijkstra(graph, source, target)
    if dist[target] == float('inf'):
        return None
    else:
        return bfs(graph, source, target, dist)

API 说明

函数 shortest_path(graph, source, target) 实现了图的最短路径问题，输入参数为一个字典 graph、一个源点 source 和一个终点 target。其中 graph 的键为节点编号，值为一个字典表示与该节点相邻的节点和对应的边权。函数返回最短路径上节点的编号组成的列表。如果不存在从源点到终点的路径，返回 None。

使用示例

graph = {
    'S': {'A': 3, 'B': 1},
    'A': {'C': 3},
    'B': {'A': 1, 'C': 5},
    'C': {'T': 2},
    'T': {},
}

source = 'S'
target = 'T'
path = shortest_path(graph, source, target)
print(path)  # ['S', 'B', 'C', 'T']