题目介绍

本题为“门|门CS 2013”比赛中第24题，是一道经典的图论算法题目。本题的目标是统计一个有向无环图中所有长度为3的环的个数。

解题思路

本题可以用经典的Floyd-Warshall算法来解决。由于输入的图是一个有向无环图，所以不存在负环，因此采用Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(n^3)。

对于每个点对(i,j)，用Floyd-Warshall算法求出从i到j的所有路径长度。对于任意三个点(i,j,k)，如果存在i到j的路径长度为1，j到k的路径长度为1，i到k的路径长度为2，则说明存在一个长度为3的环。

具体实现时，可以使用一个二维数组dist[i][j]来存储从i到j的最短路径长度。初始化时，将dist[i][j]设为输入中i到j的距离，如果i和j之间没有边，则设dist[i][j]为无穷大。然后进行$n^3$次的循环，更新dist[i][j]，如果dist[i][j]+dist[j][k]==2，则说明存在长度为3的环。最后统计所有长度为3的环的个数即可。

代码实现

以下为Python代码实现：

n = int(input())
dist = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
for i in range(n):
    row = input().strip()
    for j in range(n):
        if row[j] == '1':
            dist[i][j] = 1
    dist[i][i] = 0
for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dist[i][k] + dist[k][j] == 2:
                count += 1
print(count)

以上代码首先读入输入的有向无环图，然后使用Floyd-Warshall算法计算每个点对之间的最短路径长度，并统计长度为3的环的个数。