离散数学最小生成树

在计算机科学中，最小生成树是一个图的所有生成树中边权值和最小的生成树。这个问题可以使用Kruskal算法或Prim算法解决。

Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法，用于构建最小生成树。让我们看一下如何实现Kruskal算法。

算法步骤

1. 将所有边按照边权值从小到大进行排序。
2. 从最小边开始，将边加入到生成树中，直到生成树中有n-1条边，其中n是图的顶点个数。
3. 判断加入的边是否在同一个连通分量中（防止出现环），如果在则不加入该边。

代码实现

def kruskal(graph):
    # 初始化父节点
    parent = [i for i in range(len(graph))]
    mst = []
    edges = []
    for i in range(len(graph)):
        for j in range(i+1, len(graph)):
            if graph[i][j] != 0:
                edges.append((graph[i][j], i, j))
    # 按边权重排序
    edges.sort(key=lambda edge: edge[0])
    for edge in edges:
        weight, u, v = edge
        # 判断加入的边是否在同一个连通分量中
        u_root = find(parent, u)
        v_root = find(parent, v)
        if u_root != v_root:
            mst.append(edge)
            
            # 将两个连通分量合并
            parent[u_root] = v_root
            
            # 如果已经找到所有的边，退出循环
            if len(mst) == len(graph) - 1:
                break
    return mst

def find(parent, i):
    while parent[i] != i:
        i = parent[i]
    return i

Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，用于构建最小生成树。它通过从已经构建的生成树中的节点向未加入生成树的节点添加边的方式构建生成树。

算法步骤

1. 初始化一个空树和一个集合，将一个随机节点加入到集合和树中。
2. 每次从集合中选取一个节点，找到该节点的所有邻接边，并计算其权重。
3. 选择权重最小的边（如果有多条边可以选择任意一条），将该边所连接的节点加入到集合和树中。
4. 重复步骤2和步骤3，直到树中包含n-1条边，其中n是图的顶点个数。

代码实现

def prim(graph):
    # 用来保存已经重复的节点
    in_tree = []
    # 用来保存连接节点的最小权重
    min_weight = [float('inf') for i in range(len(graph))]
    # 用来保存连接节点的父节点
    parent = [None for i in range(len(graph))]
    # 从第一个节点开始
    min_weight[0] = 0
    current_node = 0
    while len(in_tree) < len(graph):
        in_tree.append(current_node)
        for i in range(len(graph)):
            if graph[current_node][i] != 0 and i not in in_tree:
                if graph[current_node][i] < min_weight[i]:
                    min_weight[i] = graph[current_node][i]
                    parent[i] = current_node
        min_weight_node = float('inf')
        for i in range(len(graph)):
            if i not in in_tree and min_weight[i] < min_weight_node:
                min_weight_node = min_weight[i]
                current_node = i
    mst = []
    for i in range(1, len(graph)):
        mst.append((min_weight[i], parent[i], i))
    return mst

总结

离散数学中的最小生成树问题是许多图形应用程序的基础。该问题有许多实现方法，包括Kruskal算法和Prim算法。无论哪种方法，都需要在保证生成树不包含环的前提下，尽可能多地选择最小的边。