NCERT解决方案-第7章排列和组合-第7章的其他练习

本文介绍了NCERT第7章排列和组合的其他练习的解决方案，提供了详细的说明和代码实现。

练习7.1

问题

一个电话号码由7个数字组成（不含0和1）。如果电话号码各个数字不重复，问有多少种可能的电话号码？

解决方案

这是一个典型的排列问题，因为数字不能重复，所以可以将该问题转化为从9个数字中选择7个不同的数字的排列问题。

使用公式 $n\textbf{P}r = \frac{n!}{(n-r)!}$，可以计算出答案：

$$9\textbf{P}7 = \frac{9!}{2!} = 181440$$

所以有 181440 种可能的电话号码。

代码实现

def permutation(n, r):
    # 计算排列数
    return int(factorial(n) / factorial(n-r))

def factorial(n):
    # 计算阶乘
    if n == 1 or n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n-1)

n = 9
r = 7
num_phone_numbers = permutation(n, r)
print("有 %d 种可能的电话号码" % num_phone_numbers)

练习7.2

问题

一个班级有20个学生，他们要选出一组学生代表参加校级比赛，问有多少种选择方案？

解决方案

这是一个组合问题，因为不考虑学生的顺序，只需要从20个学生中选择出一组大小为k的学生代表。

使用公式 $n\textbf{C}r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$，可以计算出答案：

$$20\textbf{C}k = \frac{20!}{k! (20-k)!}$$

代码实现

def combination(n, r):
    # 计算组合数
    return int(factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r)))

n = 20
k = 10
num_groups = combination(n, k)
print("有 %d 种选择方案" % num_groups)

练习7.3

问题

一个课堂上有12个男生和8个女生，要从中选择一组代表，使得代表组中男生人数不少于女生人数。问有多少种选择方案？

解决方案

可以使用组合问题求解。首先，男生人数不少于女生人数意味着男生的数量 $m\geq n$。所以任何满足 $m<n$ 的组合都不是符合条件的。

因此，可以计算满足 $m\geq n$ 的所有组合的数量：

$$\sum_{i=8}^{12} {12\textbf{C}i * 8\textbf{C}(k-i)}$$

代码实现

m = 12
n = 8
num_valid_combinations = 0

for i in range(n, m+1):
    num_boys = i
    num_girls = k - i
    num_valid_combinations += combination(m, num_boys) * combination(n, num_girls)

print("有 %d 种选择方案" % num_valid_combinations)

练习7.4

问题

四个人（A、B、C、D）经过抽签，要从数字 1、2、3、4、5、6 中选择一个数字。假设人们选择数字的概率是一样的，问他们选择数字相同的概率是多少？

解决方案

假设第一个人随机选择了一个数字，那么其他人选择相同数字的概率分别是 $\frac{1}{5}$。因此，四人选择相同数字的概率是

$$P = \frac{1}{6} * \frac{1}{5} * \frac{1}{5} * \frac{1}{5} = \frac{1}{750}$$

代码实现

P = 1.0 / 6.0 * 1.0 / 5.0 * 1.0 / 5.0 * 1.0 / 5.0
print("四人选择相同数字的概率是 %.6f" % P)

练习7.5

问题

用数字1到9，任意地排列，形成一个9位数，使得这个9位数可以分成三个三位数 $abc$、$def$ 和 $ghi$，且满足 $abc = 2def = 3ghi$。问有多少种可能的排列？

解决方案

对于一个符合条件的数字 $n = abcdefghi$，我们有 $abc = 2def = 3ghi$。因此，$abc$ 必须是 3 的倍数，$def$ 必须是 1.5 的倍数。

由于 $abc$ 是一个 3 位数，因此只有两种可能的选择：333 和 666。（因为 $333\times 2 = 666$，同时 $333 \times 3 = 999$）

因此，我们可以先枚举 $abc$，再从剩余数字中选择 $def$ 和 $ghi$：

• 如果 $abc = 333$，那么 $def$ 必须是 222 或 444，$ghi$ 必须是 111 或 333。
• 如果 $abc = 666$，那么 $def$ 必须是 444 或 888，$ghi$ 必须是 222 或 666。

因此，我们可以计算所有可能的排列，并对每个排列检查是否符合条件。

代码实现

from itertools import permutations

num_valid_permutations = 0
for permutation in permutations(range(1, 10)):
    abc = permutation[0] * 100 + permutation[1] * 10 + permutation[2]
    def_ = permutation[3] * 100 + permutation[4] * 10 + permutation[5]
    ghi = permutation[6] * 100 + permutation[7] * 10 + permutation[8]
    if abc % 3 == 0 and def_ % 1.5 == 0 and abc / 3 == ghi / 3 and abc / 2 == def_:
        num_valid_permutations += 1

print("有 %d 种可能的排列符合条件" % num_valid_permutations)

总结

本文讨论了NCERT第7章排列和组合的其他练习的解决方案。

我们介绍了多种组合问题和排列问题的解决方案，并提供了相应的代码实现。这些问题涉及到各种排列组合问题的实际应用，可以帮助我们更好地理解这些概念和方法。