数学 | 匹配（图论）

在图论的领域中，匹配指的是一种将图中的边分组的方法。一条边可以被分到多个组中，但同一组中的边必须没有共同的端点。如果将每一组标记上不同的颜色，那么匹配就相当于给图染色。

匹配问题可以应用于很多实际问题中。例如，员工与任务的分配、学生与导师的匹配、有线电视的电视频道选择等等。在这些问题中，我们需要找到一种最优的方式来匹配节点，从而最大化或最小化各种因素的权重。

以下介绍两种经典的匹配算法。

匈牙利算法

匈牙利算法是一种寻找最大匹配的算法，也称为二分图完美匹配算法。它的原理是使用增广路的方法来寻找增大匹配的方法。

算法过程如下：

• 遍历每一个左侧节点。
• 对每一个左侧节点，尝试将其与右侧节点进行匹配。如果右侧节点还没有匹配，或者右侧节点的当前匹配可以移除并与其他左侧节点进行匹配，则将左右节点配对并继续递归下去。
• 如果其他左侧节点都无法与它匹配，则回溯到上一级节点进行新的匹配。

匈牙利算法的时间复杂度为$O(n^3)$，其中$n$为节点数。因此，对于大规模的匹配问题，会出现计算时间过长的情况。

KM算法

KM算法（又称作二分图最佳匹配算法），是一种寻找二分图最大权匹配的算法。该算法使用了图论、网络流和二分图的一些基础知识。

算法过程如下：

• 首先我们需要定义一个邻接矩阵和两个向量，分别用于记录左侧节点到右侧节点的连通情况和右侧节点的标记情况。
• 对于左侧每一个未匹配的节点，我们尝试找到一条右侧未标记的节点，并将该节点标记为已匹配。
• 如果某个右侧节点的标记状态被更新了，则尝试找到一条更新过的右侧节点到左侧节点的增广路，并将该路上的所有节点的标记情况更新。
• 如果无法找到增广路，则将左侧节点的所有相邻的右侧节点的标记情况清除（即所有未匹配的节点都重新变成了未标记的状态）。
• 重复上述步骤，直到找不到增广路为止。最终右侧标记向量上标记了的节点，就是最大匹配的集合。

KM算法的时间复杂度为$O(n^4)$，其中$n$为节点数。虽然时间复杂度比匈牙利算法高，但是在实际的使用过程中，KM算法的表现往往优于匈牙利算法。