图论-匹配

介绍

匹配算法是图论中的一项重要内容。匹配算法可以解决一些实际问题，比如稳定婚姻问题、任务分配问题等。

在图论中，匹配是指从图中选出一些边，使得没有两条边有共同的顶点。如果一个顶点没有被选择，那么它就是孤立点。如果所有顶点都被匹配，那么这个匹配就是完美匹配。

匹配算法

最大匹配

在一个图中，能够匹配的最多边数称为最大匹配。

最大匹配的算法有很多，常见的有以下几种：

1. 增广路算法

增广路算法是一种利用图中增广路求解最大匹配的算法。

具体实现可以参考下面的代码：

def find_augmenting_path(graph, left_vertices, right_vertices, l2r, r2l, start_vertex):
    """寻找一条增广路"""
    visited = set()
    queue = [(start_vertex, None)]
    while queue:
        curr_node, curr_edge = queue.pop(0)
        if curr_node in visited:
            continue
        visited.add(curr_node)
        if curr_edge is not None:
            if curr_edge in l2r:
                r2l[l2r[curr_edge]] = None
                l2r[curr_edge] = None
            else:
                l2r[r2l[curr_edge]] = None
                r2l[curr_edge] = None
        for nxt_node in graph[curr_node]:
            nxt_edge = (curr_node, nxt_node)
            if nxt_edge in visited:
                continue
            if nxt_edge in l2r or nxt_edge in r2l:
                continue
            if curr_edge is not None and curr_edge in r2l and r2l[curr_edge] != nxt_edge:
                continue
            if nxt_node in right_vertices:
                l2r[nxt_edge] = curr_edge
                r2l[curr_edge] = nxt_edge
                return nxt_edge
            queue.append((nxt_node, nxt_edge))
    return None

def find_maximum_matching(graph, left_vertices, right_vertices):
    """找到一个最大匹配"""
    l2r = {}  # 左边节点到右边节点的匹配情况
    r2l = {}  # 右边节点到左边节点的匹配情况
    while True:
        augmenting_path = find_augmenting_path(graph, left_vertices, right_vertices, l2r, r2l, left_vertices[0])
        if augmenting_path is None:
            break
    return l2r

2. 匈牙利算法

匈牙利算法是一种利用增广路求解最大匹配的算法。

具体实现可以参考下面的代码：

def find_augmenting_path(graph, left_vertices, right_vertices, l2r, r2l, start_vertex):
    """寻找一条增广路"""
    visited = set()
    queue = [(start_vertex, None)]
    while queue:
        curr_node, curr_edge = queue.pop(0)
        if curr_node in visited:
            continue
        visited.add(curr_node)
        if curr_edge is not None:
            l2r[curr_edge] = True
            r2l[curr_edge] = True
            l2r[r2l[curr_edge]] = False
            r2l[curr_edge] = False
        for nxt_node in graph[curr_node]:
            nxt_edge = (curr_node, nxt_node)
            if nxt_edge in visited:
                continue
            if nxt_edge in l2r or nxt_edge in r2l:
                continue
            if curr_edge is not None and curr_edge in r2l and r2l[curr_edge] != nxt_edge:
                continue
            if nxt_node in right_vertices:
                l2r[nxt_edge] = True
                r2l[curr_edge] = nxt_edge
                return nxt_edge
            queue.append((nxt_node, nxt_edge))
    return None

def find_maximum_matching(graph, left_vertices, right_vertices):
    """找到一个最大匹配"""
    l2r = {}  # 左边节点到右边节点的匹配情况
    r2l = {}  # 右边节点到左边节点的匹配情况
    for left_vertex in left_vertices:
        find_augmenting_path(graph, left_vertices, right_vertices, l2r, r2l, left_vertex)
    return l2r

最小点覆盖

在一个图中，最小点覆盖是指找到一个最小的集合，使得这个集合中的点可以覆盖所有的边。

最小点覆盖的算法有很多，常见的有以下几种：

1. Konig定理

Konig定理是一个重要的定理，它指出：一个二分图的最小点覆盖数等于其最大匹配数。

具体实现可以参考最大匹配算法。

2. 网络流

网络流可以求解最小点覆盖。具体实现可以先将二分图转化为一个网络流图，然后利用最小割求解最小点覆盖。

最大独立集

在一个图中，最大独立集是指一个不具有相邻顶点的最大顶点集合。

最大独立集的算法有很多，常见的有以下几种：

1. Konig定理

Konig定理也可以用来求解最大独立集。具体实现可以参考最小点覆盖算法。

2. 网络流

网络流也可以求解最大独立集。具体实现可以先将二分图转化为一个反向边权重为1正向边权重为0的网络流图，然后利用最大流算法求解最大独立集。

总结

匹配是图论中的重要内容，常用的算法有增广路算法、匈牙利算法、Konig定理以及网络流。应该根据实际问题选择合适的算法。