树是甚至不包含单个循环的图。它们以图形形式表示层次结构。树属于最简单的图类。尽管它们很简单，但是它们具有丰富的结构。

树提供了一系列有用的应用程序，例如从家族树到计算机科学数据结构中的树，都非常简单。

树

连通的无环图称为树。换句话说，没有周期的连接图称为树。

一棵树的边缘被称为树枝。树的元素称为它们的节点。没有子节点的节点称为叶节点。

具有“ n”个顶点的树具有“ n-1”个边。如果它的边缘比“ n-1”多一个，则该明显的边缘显然必须与两个顶点配对，从而形成一个循环。然后，它变成一个循环图，它违反了树图。

例子1

此处显示的图是一棵树，因为它没有循环并且已连接。它具有四个顶点和三个边，即定义中提到的’n’个顶点’n-1’个边。

注-每棵树至少具有两个度数为1的顶点。

例子2

在上面的示例中，顶点“ a”和“ d”的度为一。而另外两个顶点“ b”和“ c”具有第二度。这是可能的，因为为了不形成循环，图形中的任何地方都应至少有两个单边。它不过是两个边缘的一阶。

森林

断开的非循环图称为森林。换句话说，不相交的树木集合称为森林。

例

下图看起来像两个子图；但这是一个断开的图。该图中没有周期。因此，显然这是一片森林。

生成树

假设G是一个连通图，则在以下情况下，G的子图H称为G的生成树：

• H是一棵树
• H包含G的所有顶点。

无向图G的生成树T是包含G的所有顶点的子图。

例

在上面的示例中，G是连通图，H是G的子图。

显然，图H没有循环，它是一棵有六个边的树，它比顶点总数少一个。因此H是G的生成树。

电路等级

令“ G”为具有“ n”个顶点和“ m”个边的连通图。 G的生成树“ T”包含(n-1)个边。

因此，为了获得生成树= m-(n-1)，需要从“ G”中删除的边数，这称为G的电路秩。

这个公式是正确的，因为在生成树中，您需要具有“ n-1”条边。在“ m”条边中，您需要在图中保留“ n-1”条边。

因此，从“ m”中删除“ n-1”条边可以将其从图形中删除，以便获得生成树，该树不应该形成循环。

例

看一下下图-

对于上面示例中给出的图形，您有m = 7个边和n = 5个顶点。

那么电路等级是-

例

令“ G”为具有六个顶点的连通图，并且每个顶点的度为三个。找到电路等级“ G”。

根据顶点定理的总和，

基尔霍夫定理

基尔霍夫定理在寻找可以由连通图形成的生成树数量时很有用。

例

矩阵“ A”被填充为，如果两个顶点之间存在边，则应将其指定为“ 1”，否则为“ 0”。

$$ A = \ begin {vmatrix} 0＆a＆b＆c＆d \\ a＆0＆1＆1＆1 \\ b＆1＆0＆0＆1 \\ c＆1＆0＆0＆ 1 \\ d＆1＆1＆1＆0 \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} 0＆1＆1＆1 \\ 1＆0＆0＆1 \\ 1＆0＆0＆1 \\ 1＆1＆1＆0 \ end {vmatrix} $$

通过使用基尔霍夫定理，应将其更改为用斜度替换主对角线值，并将所有其他元素替换为-1.A

$$ = \ begin {vmatrix} 3＆-1＆-1＆-1 \\-1＆2＆0＆-1 \\-1＆0＆2＆-1 \\-1＆-1＆-1 ＆3 \ end {vmatrix} = M $$ $$ M = \ begin {vmatrix} 3＆-1＆-1＆-1 \\-1＆2＆0＆-1 \\-1＆0＆2＆ -1 \\-1＆-1＆-1＆3 \ end {vmatrix} = 8 $$ $$ Co \：\：factor \：\：of \：\ :: m1 \：\：= \ begin {vmatrix } 2＆0＆-1 \\ 0＆2＆-1 \\-1＆-1＆3 \ end {vmatrix} $$

因此，生成树的数量= 8。