根据顶点的数量，边的数量，互连性及其整体结构，可以使用各种图形。在本章中，我们将仅讨论一些重要的图形类型。

空图

没有边的图称为空图。

例

在上图中，有三个顶点分别为“ a”，“ b”和“ c”，但它们之间没有边。因此，它是一个空图。

平凡图

仅具有一个顶点的图称为平凡图。

例

在上面显示的图中，只有一个顶点“ a”，没有其他边。因此，它是平凡的图。

无向图

无向图包含边，但边不是有向边。

例

在此图中，“ a”，“ b”，“ c”，“ d”，“ e”，“ f”，“ g”是顶点，而“ ab”，“ bc”，“ cd”，“ da” ‘，’ag’，’gf’，’ef’是图形的边缘。由于它是无向图，因此边“ ab”和“ ba”相同。同样，其他边缘也以相同的方式考虑。

有向图

在有向图中，每个边都有一个方向。

例

在上图中，我们有七个顶点“ a”，“ b”，“ c”，“ d”，“ e”，“ f”和“ g”，以及八个边线“ ab”，“ cb”，“ dc”，“ ad”，“ ec”，“ fe”，“ gf”和“ ga”。由于它是有向图，所以每个边缘都带有一个箭头，指示其方向。请注意，在有向图中，“ ab”与“ ba”不同。

简单图

没有循环且没有平行边的图称为简单图。

• 具有“ n”个顶点的单个图形中可能的最大边数为ⁿ C ₂ ，其中ⁿ C ₂ = n(n – 1)/ 2。

• ‘n’个顶点= 2 _{ⁿ c 2} = 2 ^{n(n-1)/ 2时}可能的简单图的数量。

例

在下图中，有3个顶点和3个边，最大的是不包括平行边和循环的边。这可以通过使用以上公式来证明。

n = 3个顶点的最大边数-

n = 3个顶点的简单图的最大数量-

这8张图如下所示-

连接图

如果在每对顶点之间都存在路径，则称图G是连通的。图中的每个顶点至少应有一条边。这样我们可以说它在边缘另一侧连接到其他某个顶点。

例

在下图中，每个顶点都有自己的边与另一边相连。因此，它是一个连通图。

断开图

如果图形G至少不包含两个连接的顶点，则它会断开连接。

例子1

下图是一个不连续图的示例，其中有两个分量，一个具有“ a”，“ b”，“ c”，“ d”个顶点，另一个具有“ e”，“ f”，“ g”， ‘h’个顶点。

这两个组件是独立的，并且彼此不连接。因此，它称为断开连接图。

例子2

在此示例中，有两个独立的组件abfe和cd，它们彼此没有连接。因此，这是一个断开的图。

正则图

如果图G的所有顶点都具有相同的度数，则称它为规则的。在图中，如果每个顶点的度为’k’，则该图称为’k-正则图’。

例

在以下图形中，所有顶点具有相同的度数。因此，这些图称为正则图。

在两个图中，所有顶点的度均为2。它们称为2正则图。

完整图

具有’n’个相互顶点的简单图称为完整图，并用’K _n ‘表示。在图中，一个顶点应具有所有其他顶点的边，然后称为完整图。

换句话说，如果顶点连接到图中的所有其他顶点，则称为完整图。

例

在以下图形中，图形中的每个顶点都与图形中除其自身以外的所有其余顶点相连。

在图一中

在图二中

循环图

如果一个具有’n’个顶点(n> = 3)和’n’个边的简单图，如果其所有边都形成一个长度为’n’的循环，则称为循环图。

如果图中每个顶点的度为2，则称为循环图。

表示法-C _n

例

看看下面的图-

• 图I有3个顶点和3个边，这三个顶点形成一个循环“ ab-bc-ca”。

• 图II有4个顶点和4个边，这四个顶点形成一个循环’pq-qs-sr-rp’。

• 图III有5个顶点和5个边，这些顶点形成一个周期“ ik-km-ml-lj-ji”。

因此，所有给定的图都是循环图。

轮图

通过添加新的顶点从周期图C _n-1获得车轮图。该新顶点称为集线器，该集线器连接到C _n的所有顶点。

表示法-W _n

W _n中的边_数=从中心到所有其他顶点的边数+

没有集线器的循环图中所有其他节点的边数。

=(n–1)+(n–1)

= 2(n–1)

例

看下面的图。它们都是车轮图。

在图I中，它是通过在中间加一个名为“ d”的顶点从C ₃获得的。记为W ₄ 。

W4中的边数= 2(n-1)= 2(3)= 6

在图II中，它是从C4通过在中间添加一个名为“ t”的顶点获得的。记为W ₅ 。

W5中的边数= 2(n-1)= 2(4)= 8

在图III中，它是从C ₆通过在中间添加一个名为“ o”的顶点获得的。表示为W ₇ 。

W4中的边数= 2(n-1)= 2(6)= 12

循环图

具有至少一个周期的图称为循环图。

例

在上面的示例图中，我们有两个循环abcda和cfgec。因此，它被称为循环图。

非循环图

没有循环的图称为非循环图。

例

在上面的示例图中，我们没有任何循环。因此，它是一个非循环图。

二部图

如果E的每个边都将V1中的顶点连接到V _2中的顶点，则具有顶点分区V = {V ₁ ，V ₂ }的简单图G =(V，E)称为二部图。

通常，Bipertite图具有两组顶点，例如V1和V2，并且如果绘制了一条边，则它应将V ₁中的任何顶点连接到V _2中的任何顶点。

例

在此图中，您可以观察到两组顶点-V ₁和V ₂ 。在这里，两个名为“ ae”和“ bd”的边连接了两个集合V ₁和V ₂的顶点。

完全二部图

如果将V ₁中的每个顶点都连接到V _2的每个顶点，则将划分为V = {V ₁ ，V ₂ }的二部图’G’，G =(V，E)称为完整的二部图。

通常，完整的二部图将集合V ₁中的每个顶点连接到集合V _2中的每个顶点。

例

下图是一个完整的二部图，因为它的边将集合V ₁中的每个顶点连接到集合V _2中的每个顶点。

如果| V ₁ | = m和| V ₂ | = n，则完整的二部图由K _m，n表示。

• K _m，n具有(m + n)个顶点和(mn)个边。
• 如果m = n _，则K _m，n是正则图。

通常，一个完整的二部图不是一个完整的图。

如果m = n = 1 _，则K _m，n是一个完整的图。

具有n个顶点的二部图中最大边数为-

[N ^2/4]

如果n = 10，K5，5 = [N 2/4] = [10 ^2/4] = 25。

同样，K6，4 = 24

K7，3 = 21

K8，2 = 16

K9，1 = 9

如果n = 9，k5，4 = [n2 / 4] = [92/4] = 20

同样，K6，3 = 18

K7，2 = 14

K8，1 = 8

如果“ G”没有奇数长度的循环，则“ G”是二部图。二部图的一种特殊情况是星形图。

星图

形式为K1(n-1)的完整二部图是具有n个顶点的星形图。如果单个顶点属于一个集合，而所有其余顶点都属于另一集合，则星形图是完整的二部图。

例

在上面的图中，在“ n”个顶点中，所有“ n-1”个顶点都连接到单个顶点。因此，它采用K ¹ ， ^n-1的形式，它们是星形图。

图的补码

假设“ G-”是具有一些顶点的简单图形，例如“ G”，并且在“ G-”中存在边{U，V}(如果在G中不存在边)。这意味着两个顶点相邻如果两个顶点在G中不相邻，则在“ G-”中。

如果在图I中存在的边在另一个图II中不存在，并且如果图I和图II都合并在一起形成一个完整的图，则图I和图II称为彼此的互补。

例

在下面的示例中，图形I具有两个边“ cd”和“ bd”。它的补图II具有四个边。

请注意，图I中的边在图II中不存在，反之亦然。因此，两个图的组合给出了’n’个顶点的完整图。

注-两个互补图的组合给出了一个完整的图。

如果“ G”是任何简单图形，则

| E(G)| + | E(’G-‘)| = | E(Kn)|，其中n =图中的顶点数。

例

假设“ G”是具有九个顶点和十二个边的简单图形，请在“ G-”中找到边的数量。

您有| E(G)| + | E(’G-‘)| = | E(Kn)|

12 + | E(’G-‘)| =

9(9-1)/ 2 = ⁹ C ₂

12 + | E(’G-‘)| = 36

| E(’G-‘)| = 24

“ G”是具有40条边的简单图形，其补码“ G-”具有38条边。在图形G或’G-‘中找到顶点数。

令图中的顶点数为“ n”。

我们有| E(G)| + | E(’G-‘)| = | E(Kn)|

40 + 38 = n(n-1)/ 2

156 = n(n-1)

13(12)= n(n-1)

n = 13