图是点和连接到这些点的线的图。它至少有一条线连接一组两个顶点，而没有顶点连接。图论中的图概念以点，线，顶点，边，顶点的度数，图的性质等一些基本术语为基础。在本章中，我们将介绍图论的这些基础知识。

点

点是一维，二维或三维空间中的特定位置。为了更好地理解，可以用字母表示一个点。它可以用点表示。

例

在此，点是一个名为“ a”的点。

线

线是两点之间的连接。可以用实线表示。

例

这里，“ a”和“ b”是要点。这两个点之间的链接称为线。

顶点

顶点是多条线相交的点。也称为节点。类似于点，顶点也用字母表示。

例

在这里，顶点用字母“ a”命名。

边缘

边是连接两个顶点的直线的数学术语。一个单一的顶点可以形成许多边缘。没有顶点，就无法形成边缘。边必须有一个起点和终点。

例

这里，“ a”和“ b”是两个顶点，它们之间的链接称为边。

图形

图“ G”定义为G =(V，E)，其中V是图形中所有顶点的集合，E是图形中所有边的集合。

例子1

在上面的示例中，ab，ac，cd和bd是图形的边缘。类似地，a，b，c和d是图的顶点。

例子2

在此图中，有四个顶点a，b，c和d，以及四个边缘ab，ac，ad和cd。

循环

在图形中，如果从顶点到其自身绘制一条边，则称为循环。

例子1

在上图中，V是一个顶点，其顶点具有形成环的边(V，V)。

例子2

在该图中，在顶点a和顶点b处形成两个环。

顶点度

它是与顶点V相邻的顶点数。

表示法-deg(V)。

在具有n个顶点的简单图中，任何顶点的度为-

deg(v)≤n – 1∀v∈G

顶点可以与除自身以外的所有其他顶点形成边。因此，顶点的度数将取决于图中的顶点数减去1 。此1用于自顶点，因为它本身无法形成循环。如果在任何一个顶点处都有一个循环，则它不是简单图。

可以在两种情况下考虑顶点度-

• 无向图

• 有向图

无向图中的顶点度

无向图没有有向边。考虑以下示例。

例子1

看一下下图-

在上面的无向图中，

• deg(a)= 2，因为在顶点“ a”处有2条边相交。

• deg(b)= 3，因为在顶点’b’上有3个边相交。

• deg(c)= 1，因为在顶点“ c”上形成了1个边

• 因此，“ c”是下垂顶点。

• deg(d)= 2，因为在顶点’d’上有2个边相交。

• deg(e)= 0，因为在顶点’e’上形成了0个边。

• 因此，“ e”是一个孤立的顶点。

例子2

看一下下图-

在上图中，

deg(a)= 2，deg(b)= 2，deg(c)= 2，deg(d)= 2，deg(e)= 0。

顶点“ e”是一个孤立的顶点。该图没有任何下垂顶点。

有向图的顶点度

在有向图中，每个顶点都有一个度数和一个度数。

图的度数

• 顶点V的度数是进入顶点V的边数。

• 表示法-deg-(V)。

图的度数

• 顶点V的出度是从顶点V出来的边数。

• 表示法-deg +(V)。

考虑以下示例。

例子1

看看下面的有向图。顶点“ a”具有两个向外的边，即“ ad”和“ ab”。因此，其出度为2。类似地，有一个边“ ga”，朝向顶点“ a”。因此，“ a”的度数为1。

下表显示了其他顶点的入度和出度-

例子2

看看下面的有向图。顶点“ a”的边“ ae”从顶点“ a”向外延伸。因此，其出度为1。类似地，图形的边“ ba”朝向顶点“ a”。因此，“ a”的度数为1。

下表显示了其他顶点的入度和出度-

下垂顶点

通过使用顶点的度，我们有两种特殊类型的顶点。度为1的顶点称为下垂顶点。

例

在此，在此示例中，顶点“ a”和顶点“ b”具有连接的边“ ab”。因此，相对于顶点“ a”，只有一个朝向顶点“ b”的边缘，类似地，相对于顶点“ b”，只有一个朝向顶点“ a”的边缘。最后，顶点“ a”和顶点“ b”的阶数为1，也称为下垂顶点。

孤立顶点

度为零的顶点称为孤立顶点。

例

在此，顶点“ a”和顶点“ b”在彼此之间以及与任何其他顶点之间没有连通性。因此，顶点“ a”和“ b”的度均为零。这些也称为孤立顶点。

邻接

这是邻接准则-

• 在图中，如果两个顶点之间存在边，则称两个顶点相邻。在这里，顶点的邻接由连接这两个顶点的单个边来维持。

• 在图形中，如果两个边缘之间存在相同的顶点，则称两个边缘相邻。在这里，边的邻接由连接两个边的单个顶点保持。

例子1

在上图中-

• “ a”和“ b”是相邻的顶点，因为它们之间存在公共边“ ab”。

• “ a”和“ d”是相邻的顶点，因为它们之间存在公共边“ ad”。

• ab’和’be’是相邻的边缘，因为它们之间有一个共同的顶点’b’。

• be’和’de’是相邻的边，因为它们之间有一个共同的顶点’e’。

例子2

在上图中-

• “ a”和“ d”是相邻的顶点，因为它们之间存在公共边“ ad”。

• “ c”和“ b”是相邻的顶点，因为它们之间存在公共边“ cb”。

• “ ad”和“ cd”是相邻的边缘，因为它们之间有一个共同的顶点“ d”。

• “ ac”和“ cd”是相邻的边缘，因为它们之间有一个共同的顶点“ c”。

平行边

在图形中，如果一对顶点通过一条以上的边连接，则这些边称为平行边。

在上图中，“ a”和“ b”是两个顶点，它们之间由两个边“ ab”和“ ab”连接。因此，它被称为平行边。

多图

具有平行边缘的图称为多图。

例子1

在上图中，有五个边“ ab”，“ ac”，“ cd”，“ cd”和“ bd”。由于“ c”和“ d”之间有两个平行的边，因此它是一个Multigraph。

例子2

在上图中，顶点“ b”和“ c”具有两个边。顶点“ e”和“ d”之间也有两个边缘。因此，它是一个Multigraph。

图的度序列

如果图中所有顶点的度数以降序或升序排列，则获得的序列称为图的度数序列。

例子1

在上图中，对于顶点{d，a，b，c，e}，度数序列为{3，2，2，2，1}。

例子2

在上图中，对于顶点{a，b，c，d，e，f}，度数序列为{2，2，2，2，2，2，0}。