问题 1 – Geeksland 有 25 部电话。是否可以用电线将它们连接起来，以便每部电话都与另外 7 部电话准确连接。
解决方案——让我们假设这样的安排是可能的。这可以看作是一个图表，其中电话使用顶点表示，连线使用边表示。现在我们在这个图中有 25 个顶点。图中每个顶点的度数为 7。
从握手引理，我们知道。
sum of degrees of all vertices = 2*(number of edges)
number of edges = (sum of degrees of all vertices) / 2
我们需要了解一条边连接两个顶点。所以所有顶点的度数总和等于边数的两倍。
所以，
25*7 = 2*(number of edges)
number of edges = 25*7 / 2 = 87.5
这不是整数。因此，我们可以得出结论，我们的假设是错误的，这样的安排是不可能的。
问题 2 –下图显示了 3*3 网格上的骑士排列。 
图 –初始状态
是否可以使用有效的骑士动作达到如下所示的最终状态?
图 –最终状态
解决方案 –否。您可能认为您需要成为一名优秀的国际象棋棋手才能破解上述问题。然而，上述问题可以使用图形来解决。但是我们应该画什么样的图形呢?让 9 个顶点中的每一个都由一个数字表示，如下所示。
现在我们将网格的每个正方形视为图中的一个顶点。如果在图中相应的正方形之间可能有有效的骑士移动，则图中的两个顶点之间存在边。例如 – 如果我们考虑方格 1。具有有效骑士移动的可到达方格是 6 和 8。我们可以说顶点 1 连接到图中的顶点 6 和 8。
类似地，我们可以绘制整个图形，如下所示。显然，任何正方形都无法到达顶点 5。因此没有一条边连接到顶点 5。
我们在图表中使用空心圆描绘白骑士，使用实心圆描绘黑骑士。因此，图的初始状态可以表示为：
图 –初始状态
最终状态表示为：
图 –最终状态
请注意，为了达到最终状态，需要存在两条骑士(黑骑士和白骑士交叉)的路径。我们只能在图上以顺时针或逆时针方式移动马(如果两个顶点在图上相连：则表示网格上存在对应的马的移动)。然而，骑士出现在图表上的顺序不能改变。一个骑士不可能通过(一个顶点上不能存在两个骑士)另一个来达到最终状态。因此，我们可以得出结论，无论如何最终的安排都是不可能的。
问题 3：在一个平面上画了 9 条线段。每个线段是否有可能恰好与另外 3 个线段相交?
解决方案：这个问题最初看起来很困难。我们可以考虑使用图形来解决它。但是我们如何绘制图形。如果我们试图通过使用线段作为图形的边来解决这个问题，我们似乎无处可去(这最初听起来令人困惑)。这里我们需要考虑一个图，其中每个线段都表示为一个顶点。现在，如果相应的线段相交，则该图的两个顶点已连接。
现在这个图有 9 个顶点。每个顶点的度数为 3。
我们知道对于一个图
所有顶点的度数总和 = 2* 图中的边数
由于上述问题中顶点的度数总和为 9*3 = 27 即奇数，因此这种排列是不可能的。