门 | GATE CS Mock 2018 |第 42 题

该问题是GATE CS Mock 2018的第42个问题，是一个有关计算机科学的门问题。题目要求找出给定图形中的最小割，并返回其值。

算法

该问题可以使用一些拓展算法解决。在处理割问题时，常见的方法有 费用流算法（也称为最小割），它能够找到最小割并计算最小割的大小。 另一个常见的方法是 Karger割定理，他找到最小的割并计算其大小，但具有比费用流算法更少的时间复杂度。这两种算法都可以解决该问题。

这里给出费用流算法的伪代码：

def find_min_cut(s, t, graph):
    flow, cut = 0, []
    while True:
        # BFS搜索增广路
        visited = set()
        queue = [(s, [], float('inf'))]
        while queue:
            vertex, path, capacity = queue.pop(0)
            if vertex == t:
                # 路径更新: 更新路径的流量和剩余容量
                for i in range(len(path) - 1):
                    graph[path[i]][path[i+1]] -= capacity
                    graph[path[i+1]][path[i]] += capacity
                flow += capacity
                cut = path
                break
            for next_vertex, next_capacity in graph[vertex].items():
                if next_vertex not in visited and next_capacity > 0:
                    # 将找到的未访问节点添加到队列中
                    visited.add(next_vertex)
                    queue.append((next_vertex, path + [next_vertex], min(capacity, next_capacity)))
        if not cut:
            break
    return flow, cut

性能

对于图中的$N$节点和$E$边的情况，费用流算法的最坏时间复杂度大约为$O(E^2N)$，但在实际应用中通常表现更好。

使用Karger割定理的算法的平均时间复杂度大约为$O(E\log^2N)$，比费用流快得多，但精度较低。

结论

这个问题是一个有趣的图算法问题，可以使用诸如费用流和Karger割定理这样的算法进行解决。虽然费用流算法在最坏情况下的时间复杂度较高，但在实际应用中通常表现更好。