门 | GATE-CS-2003 | 问题 20

这篇文章是为那些正在准备 Gate CS 2003 考试或者其他计算机科学入门考试的程序员们准备的。而问题 20 针对门电路的相关问题。

问题

给定 $n$ 个门，每个门有 $0$ 或 $1$ 的输入和 $0$ 或 $1$ 的输出。由此得到 $2^n$ 种可能的输入组合。对于每个输入组合，都能得到一个 $0$ 或 $1$ 的输出值。但是这 $2^n$ 个输出值中，只有 $k$ 个是 $1$，现在需要求解输入下标之和为奇数的所有组合的输出值之和。

请写一个有效的算法，其时间复杂度不超过 $O(kn)$，其中 $n$ 是输入数目。

解决方案

我们可以用一个二进制数 $S$ 来表示输入下标之和是否为奇数，其中第 $i$ 个二进制位表示第 $i$ 个输入下标出现的次数是否为奇数。比如，如果只有第 $3$ 和第 $5$ 个下标出现了奇数次，那么 $S = 001010$。

然后我们可以考虑使用一个滚动哈希函数来遍历所有的输入组合，它会把输入组合的哈希值与 $S$ 做与运算。如果结果非零，则说明这个输入组合的下标之和为奇数，可以累加它的输出值。

具体的实现可以参考下面的代码段：

def odd_sum(gates, k):
    n = len(gates)
    cnt = [0] * n
    for state in range(1 << n):
        s = sum(cnt[i] for i in range(n) if state & (1 << i))
        if s & 1:
            t = sum(gates[i](state & ~(1 << i)) for i in range(n))
            if s & (k % 2):
                k -= 1
            else:
                k += 1
            if k == 0:
                return t
        for i in range(n):
            if state & (1 << i):
                cnt[i] -= 1
            else:
                cnt[i] += 1
    return -1

其中 gates 是门的列表，每个门都是一个函数，输入为一个二进制数，输出为 $0$ 或 $1$。k 表示需要求解的输出值的和，其余的变量都和上面的算法描述一致。

时间复杂度为 $O(kn)$，可以通过 Gate CS 2003 考试。