进一步了解GATE CS Mock 2018年-套装2的问题16

在GATE CS Mock 2018年-套装2的问题16中，程序员需要编写一段代码，以解决以下问题：

「给定一个由1和0组成的矩阵，找到最大的全1子矩阵。」

为了解决这个问题，程序员需要遍历矩阵的所有子矩阵，找到其中由1组成的最大矩阵。这可以通过动态编程或栈来实现。

下面是一种解决方案，使用栈来查找最大的全1子矩阵。

def max_submatrix(matrix):
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])
    heights = [0] * cols
    max_area = 0
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if matrix[i][j] == 1:
                heights[j] += 1
            else:
                heights[j] = 0
        area = max_area_histogram(heights)
        max_area = max(area, max_area)
    return max_area

def max_area_histogram(heights):
    stack = []
    i = 0
    max_area = 0
    while i < len(heights):
        if not stack or heights[i] >= heights[stack[-1]]:
            stack.append(i)
            i += 1
        else:
            top = stack.pop()
            area = (heights[top] * ((i - stack[-1] - 1) if stack else i)) # 计算面积
            max_area = max(area, max_area)
    while stack:
        top = stack.pop()
        area = (heights[top] * ((i - stack[-1] - 1) if stack else i)) # 计算面积
        max_area = max(area, max_area)
    return max_area

在这个解决方案中， max_submatrix函数遍历整个矩阵，并在每个列中保留一个自上而下的高度列表，将所有1添加到相应列中的高度列表中，将所有0替换为0。接下来，使用 max_area_histogram函数查找每个高度列表的最大矩形，并返回最大矩形的面积。

max_area_histogram函数使用栈追踪当前高度列表中的最大矩阵。它首先将第一个高度的索引压入堆栈，之后开始迭代该高度列表。如果堆栈为空或当前高度大于等于堆栈项的高度，则将当前索引压入堆栈。否则，它弹出堆栈项，计算堆栈项的面积，并将其与 max_area进行比较。在不断弹出堆栈项并计算面积直到堆栈为空之后，它返回 max_area。

这个解决方案的时间复杂度为 O(mn)，其中m和n分别是矩阵的行数和列数。这是因为我们需要将每个子矩阵遍历一次，并在每行中计算最大矩形。它的空间复杂度为 O(n)，其中n是矩阵的列数。这是因为我们只需要在每个高度列表中存储一个计数器。