GATE-CS-2007 | 第84题

本题为GATE（印度研究生入学考试）的计算机科学题目，属于2007年的试题。

题目描述

给定一个有向图 $G(V, E)$，其中 $V$ 是节点集，$E$ 是有向边集。每条边 $e=(u, v)$ 都有一个非负权重 $w(e)$。假设所有的边都是有向的，也就是说，如果存在一条边 $(u,v)$，则不存在一条边 $(v,u)$。

你需要编写一个程序，计算出从源节点 $s$ 到每个其他节点的最短路径。你的程序应该输出一个数组 $dist[0..|V|-1]$，其中 $dist[i]$ 是从源节点 $s$ 到节点 $i$ 的最短距离。如果从源节点 $s$ 不能到达节点 $i$，则 $dist[i]$ 应为 $\infty$。请注意，你需要使用 Dijkstra 算法来解决此问题。

题目分析

Dijkstra 算法是求解单源最短路径问题的经典算法，可以在有向边的权重非负时使用。本题要求实现 Dijkstra 算法，计算从源节点到所有其他节点的最短路径。

Dijkstra 算法从源节点开始，每次选择距离最短的节点，并更新该节点的邻居节点的距离。该过程一直重复，直到所有节点都被访问或者不存在通往目标节点的路径为止。

具体实现时，我们可以使用优先队列来存储待处理的节点，并按距离从小到大排序。每次从队列中取出距离最小的点 $u$，然后遍历 $u$ 的所有邻居 $v$，如果从 $s$ 到 $v$ 的距离可以通过 $u$ 更新，则更新距离并将 $v$ 加入到队列中。

代码实现

本题的算法实现相对较为简单，关键在于数据结构的选择。我们可以使用 C++ STL 中的 priority_queue 来实现优先队列，该容器可以自动维护元素的顺序。

具体实现时，我们可以使用一个长度为 $|V|$ 的数组 $dist$ 来记录每个节点到源节点的最短距离，初始化时将所有节点的距离都设为 $\infty$。然后将源节点加入到优先队列中，同时将该节点的距离设为 $0$，表示到自身的距离为 $0$。接下来，每次从队列中取出距离最小的节点 $u$，遍历其所有邻居节点 $v$，如果从 $s$ 到 $v$ 的距离可以更新，则更新距离并将 $v$ 加入到队列中。最终，数组 $dist$ 中存储的就是源节点到每个节点的最短距离。

下面是 C++ 的代码实现示例（仅供参考）：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <functional>

using namespace std;

const int INF = 1e9;

int main() {
  int n, m, s;
  cin >> n >> m >> s;

  vector<vector<pair<int, int>>> adj(n);
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    int u, v, w;
    cin >> u >> v >> w;
    adj[u].emplace_back(v, w);
  }

  vector<int> dist(n, INF);
  dist[s] = 0;

  priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
  pq.emplace(0, s);

  while (!pq.empty()) {
    int u = pq.top().second;
    int u_dist = pq.top().first;
    pq.pop();
    if (u_dist != dist[u]) continue;
    for (auto [v, w] : adj[u]) {
      if (dist[v] > dist[u] + w) {
        dist[v] = dist[u] + w;
        pq.emplace(dist[v], v);
      }
    }
  }

  for (int d : dist) {
    if (d == INF) cout << "INF\n";
    else cout << d << '\n';
  }
}

以上代码使用 $vector$ 来存储邻接表，使用 $priority_queue$ 来维护优先队列。需要注意的是，$priority_queue$ 中的元素是一对 $(dist[u], u)$，其中 $u$ 是节点编号，$dist[u]$ 是从源节点到 $u$ 的距离，因此我们需要把元素的第一项设为距离 $dist[v]$。此外，为了避免重复加入节点，我们需要在加入节点前检查该节点的距离是否已经被更新。