门| GATE-CS-2007 |第79章

该章节为GATE-CS-2007计算机科学考试中的一道题目，主要考察程序员的数据结构和算法能力。

题干

有一扇门，门上有 n 个锁，每个锁用一个布尔变量表示。这扇门可以用一个布尔数组 L[1...n] 来表示，其中 L[i] = 1 表示第 i 个锁是开的，L[i] = 0 表示第 i 个锁是关的。

现在你需要写一个函数 doorOpen(n: int, k: int, L: List[int]) -> bool ，判断你是否可以开该门。你拥有一个开门的工具，第 i 次操作可以开所有编号为 i 的倍数的锁，问至少需要操作几次，才能使得门打开。如果无法打开，则返回 False。

示例

输入： n = 5, k = 2, L = [1, 0, 0, 0, 1]
输出： True
解释：第一次操作可以开第二把锁，门变成 [1, 1, 0, 0, 1]。第二次操作可以开第一个和第五个锁，门变成 [1, 1, 0, 0, 1]，门打开。

输入： n = 4, k = 3, L = [0, 1, 0, 1]
输出： False
解释：无论如何都无法通过操作打开门。

思路

我们可以暴力模拟，从 1 到 n 暴力模拟每一步操作，直到所有锁都被打开，或者已经无法继续打开新的锁。这样的时间复杂度为 O(n^2)，会超时。

优化的思路是找到所有可以被同时操作的锁，比如对于 k=2，可以同时打开所有偶数锁。这样，我们可以从 k 开始，每次枚举偶数的倍数，同时打开它们。这样就可以将时间复杂度降为 O(n*log(n))。

代码

from typing import List

def doorOpen(n: int, k: int, L: List[int]) -> bool:
    for i in range(k, n+1, 2*k):
        for j in range(i, min(i+k, n+1)):
            if L[j-1] == 0:
                break
        else:
            continue
        break
    else:
        return True
    return False

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