第12类NCERT解决方案-数学第I部分-导数的应用-练习6.1

问题1.当a)r = 3cm b)r = 4cm时，求出圆的面积相对于半径r的变化率

解决方案：

Given,

radius of circle=r=3cm

Now, we know that area=πr²=A

Rate of change of the area of a circle with respect to r=dA/dr

dA/dr=d/dr πr²=2πr

so, when r=3

dA/dr  

=2π(3)=6π

when r=4

dA/dr

=2π(4)=8π

问题2.立方体的体积以cm ³ / s的速率增加。当边缘的长度为12 cm时，表面积增加的速度有多快?

解决方案：

Given,

Rate of increase of the volume =8cm³/s

length of edge of cube=12cm=s

Now,

volume(v) of a cube with side length ‘s’

v=s³

Now,$\frac{dv}{dt}=\frac{d(s)^3}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$          [chain rule]

$\frac{dv}{dt}=8cm^3/s=3(12)^2\frac{ds}{dt}$

$\frac{ds}{dt}=\frac{8cm^3}{3(12)^2cm^2}$

so, the rate of change of surface Area(A)

A=6s²

$\frac{dA}{dt}=\frac{d}{dt}(6s^2)=36(2s)\frac{ds}{dt}$

$\frac{dA}{dt}=12.12.\frac{ds}{dt}=\frac{8}{3}cm^2/s$

问题3.圆的半径以3 cm / s的速度均匀增加。求出半径为10cm时圆的面积增加的速率。

解决方案：

Given,

rate of increase of radius = 3cm/s=r

so, $\frac{dr}{dt}$ = 3cm\s

To find : Ratio of increase of Area(A=πr²)

$\frac{dA}{dt}$= π $\frac{d}{dt}(r^2)$=2πr.$\frac{dr}{dt}$         [chain rule]

$\frac{dA}{dt}$=2π(10)³=60πr

问题4.可变立方体的边缘以3 cm / s的速率增加。边缘长10厘米时，立方体的体积增加多快?

解决方案：

Given: rate of increase of edge of cube, $\frac{ds}{dt}$=3cm/s

To find: Rate of increase of volume (v) of the cube $\frac{dv}{dt}=?$

Now, $\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(s^3)=3s^2.\frac{ds}{dt}$  [chain rule]

So, $\frac{dv}{dt}=3(10)^2.3cm^3/s=900cm^3/s$

问题5.将一块石头掉进一个安静的湖中，波浪以5cm / s的速度绕圈运动。在圆波半径为8cm的瞬间，封闭区域的增加速度有多快?

解决方案：

Given, Speed of water=rate of change of radius=5cm/s

To find: rate of increase of area=$\frac{dA}{dt}=?$

$\frac{dr}{dt}=5cm/s$

$\frac{dA}{dt}$ = π $\frac{d}{dt}(r^2)$ =2πr. $\frac{dr}{dt}$   [chain rule]

$\frac{dA}{dt}$ = 2π(8)5cm²/s

=80πcm²/s

问题6.圆的半径以0.7cm / s的速率增加。其情况的增长率是多少?

解决方案：

Given: rate of increase of radius, $\frac{dr}{dt}=0.7cm/s$

Circumference(P)=2πr

$\frac{dP}{dt}$=2π.$\frac{dr}{dt}$=2π.(0.7)

$\frac{dP}{dt}$=1.4π cm/s              or 4.4cm/s              [taking π=22/7]

问题7.矩形的长度x以5厘米/分钟的速率减小，宽度y以4厘米/分钟的速率增大。当x = 8cm和y = 6cm时，求出(a)周长和b)矩形面积的变化率。

解决方案：

Given: Rate of change of length, $\frac{dx}{dt}=-5cm/min$

Rate of change of width, $\frac{dy}{dt}=4cm/min$

Now, perimeter P=2(r+y)

Area A=x.y

so, a) $\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}(2(x+Y))=\frac{2dx}{dt}+\frac{2dy}{dt}$

           $\frac{dP}{dt}=2.(-5)+2.(4)=-2cm/min$

      b)$\frac{dA}{dt}=\frac{d}{dx}(x.y)=x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}$[x is decreasing, y is increasing]

          $\frac{dA}{dt}=8(4)+6(-5)=2cm/min$    

问题8.气球在充气时始终保持球形，通过每秒泵入900立方厘米的气体进行充气。求出半径为15cm时气球半径增加的速率。

解决方案：

Given, Amount of gas pumped in per second/ Rate of change of volume $\frac{dv}{dt}$=900 cm³/s

To find: Rate of change of radius, $\frac{dr}{dt}$ when r=15cm.

v=$\frac{4}{3}$πr³

$\frac{dv}{dt}$ = 4πr²$\frac{dr}{dt}$

Now, $\frac{dv}{dt}$=4π(15)².$\frac{dr}{dt}$

900=900π.$\frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt}$ = 1/π cm/s

问题9.始终保持球形的气球的半径是可变的。求出半径为10cm时其体积随半径增加的速率。

解决方案：

Let the radius be r & volume be v.

v=$\frac{4}{3}$πr³

To find: Rate of change of volume with respect to 

i.e $\frac{dv}{dr}=?$

Now, $\frac{dv}{dt}=\frac{4}{3}$π$\frac{d}{dr}$.r³=4πr²

$\frac{dv}{dr}$=400π cm²

问题10. 5 m长的梯子靠在墙上。梯子的底部以2 cm / s的速度沿地面拉离墙壁。当梯子的脚距墙壁4m时，其在墙壁上的高度下降的速度有多快?

解决方案：

 Given: Length of ladders=5m

In ∆ ABC, AC=5m,  BC=4m,  & ∠ABC=90°,

so by Pythagoras theorem,

AB=$\sqrt{(5)^2-(4)^2}$=3

Now,  let AB=x   & BC=y

so, x²,y²=5²   or  x²,y²=25               ———1

Differentiating   both sides  of 1 by t,  we get 

$2x.\frac{dx}{dt}+2y.\frac{dy}{dt}=0$ 

or

$x.\frac{dx}{dt}=-y.\frac{dy}{dt}$

Now  at BC=y=4,

$\frac{dy}{dt}=2cm/s$

so $x.\frac{dx}{dt}=-y\frac{dy}{dt}$

$3\frac{dx}{dt}=-4(2)$

$\frac{dx}{dt}=\frac{-8}{3}cm/s$   [negative sign means AB is decreasing]

问题11。粒子沿着曲线6y = x ³ + 2移动。在曲线上找到y坐标变化速度是x坐标变化速度8倍的点。

解决方案：

Given: curve  6y=x³+2  ————1

and  $\frac{dy}{dt}=8.\frac{dx}{dt}$  ———-2

Differentially 1 with respect to it, we get,

$\frac{6dy}{dt}=3x^2.\frac{dx}{dt}$

from 2          6.8.$\frac{dx}{dt}=3x^2.\frac{dx}{dt}$

16=x²

x=±4           ————-3

Now for y coordinates, put 3

6y=x³+2

when x = -4

6y = -64+2

y = $\frac{32}{3}$

and, when x = 4

6y = 66

y = 11

问题12.气泡的半径以1/2 cm / s的速率增加。当半径为1 cm时，气泡的体积以什么速率增加?

解决方案：

Given: Rate of increase of radius $\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2}$cm/s

To Find: Rate of increase of volume,$\frac{dv}{dt}=?$

Now, v=4/3πr³

$\frac{dv}{dt}$=$\frac{4}{3}$π $\frac{d}{dt}(r^3)$=4πr²$\frac{dr}{dt}$
$\frac{dv}{dt}$=4π(1)².$\frac{1}{2}$ cm³/s

$\frac{dv}{dt}$=2π cm³/s

问题13：始终保持球形的气球的直径可变$\frac{3}{2}$ (2x + 1)。求出其体积相对于x的变化率。

解决方案：

Given: Diameter of sphere=3/2(2x+1)=d

So, radius of the sphere will be d/2=3/4(2x+1)=r

$\frac{dr}{dx} = \frac{3}{4}$ (2)

$\frac{dr}{dx} = \frac{3}{2}$

Now, volume =4/3πr³

Rate of change of volume with respect to radius 

$\frac{dv}{dr}$=$\frac{4}{3}$π$\frac{d}{dr}(r^3)$=4πr²

$\frac{dv}{dr} . \frac{dr}{dx}$ = 4π($(\frac{3(2x+1)}{4})^2 . \frac{3}{2}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{27}{8}$π (2x+1)²

问题14.沙子以12 cm ³ / s的速度从管道中倒出。掉落的沙子在地面上形成一个圆锥体，使圆锥体的高度始终是基座半径的六分之一。高度为4厘米时，锥体的高度增加的速度有多快?

解决方案：

Given: Rate of falling sand=12cm³/s

Now this rate is basically the rate of change of the cone.

so, $\frac{dv}{dt}=12cm^3/s$

Now, radius =r

height =r

height is always one-sixth of the radius so,

h=r/6  or r=6h

To find : Rate of change of height =dh/dt=?

Now, volume v=1/3πr²h=1/3.π(6h)².h

v=12πh³

$\frac{dv}{dt}$=12π$\frac{d}{dt}(h^3)$=12π3h².$\frac{dh}{dt}$

12 =36π.(4)2.$\frac{dh}{dt}$

$\frac{12}{36.16}$= π $\frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt}$=1 / 48π cm/s

问题15。与项目的x个单位的生产相关的以卢比为单位的总成本C(x)由C(x)= 0.003x ² + 15x + 4000给出。找到生产17个单位时的边际成本。

解决方案：

Given: c(x)=0.007x³-0.003x²+15c+4000

Now change in total cost with respect to units is know as marginal cost i.e $\frac{dc(x)}{dx}$

$\frac{d[(x)]}{dx}=\frac{d}{dx}(0.007x^3-0.003x^2+15x+4000)$

Marginal cost=0.021x²-0.006x+15

Marginal cost when 17 units are produced

=0.221(17)²-0.006(17)+15

=6.069-0.102+15

=20.967

问题16.从产品x单位的规模中以卢比表示的总收入为R(x)= 13x ³ + 26x + 15。当x = 7时找到边际收益。

解决方案：

Marginal revenue is the rate of change of total revenue with respect to no. of units.

So, Marginal revenue =$\frac{d}{dx}[R(x)]$

Marginal revenue=$\frac{d}{dx}(13x^2+26x+15)$

$=26x+26=26(x+1)$

Marginal revenue  when (x=7)

=26 (8)

=208

问题17.在r = 6cm处，圆的面积相对于半径r的变化率为(A)10π(B)12π(C)8π(D)11π。

解决方案：

Area, A=πr²,where r  is the radius 

Rate of change of area with respect to its radius r is,

$\frac{dA}{dr}$=π$\frac{d}{dr}(r^2)$=2πr

$\frac{dA}{dr}$=2π(6)=12π

问题18：从销售某产品的x个单位中获得的卢比总收入为R(x)= 3x ² + 36x + 5。当x = 15时的边际收益为(A)116(B)96(C)90(D)126

解决方案：

Marginal Revenue=$\frac{d}{dx}(R(x))$

Marginal Revenue=6x + 36

Marginal Revenue at x=15 is    6 (15)+36=126