如何合理化无理数？

数系只不过是数轴上不同种类数的表示（例如，整数、整数、有理数、无理数、自然数）。让我们更简单地理解一下，假设一个人有一条从 -∞ 到 ∞ 的数轴，并且必须收集 0、5、-6、582、-633 等。从数轴开始，首先检查这些是什么类型的数字（因为它众所周知，人们已经从数轴中收集了整数），并且像这样可以从数轴中假设更多不同种类的数字用于不同的目的。

有理数和无理数

有理数是那些可以写成p/q形式的数，即分子除以分母，可以说这个数可以表示为infraction。这里 p 和 q 是整数，q 不能为零（q ≠ 0）。示例：2/4、10/30、-25/1 等。每个整数都是有理数，但并非每个有理数都是整数。

无理数 是那些不能以 p/q 形式表示的数字，其中 p 和 q 是整数，q 不能为零（q ≠ 0）。示例：√2, √3, (3 + √7) 。

如何合理化无理数？

有什么必要使无理数合理化？在数轴上表示有理数很容易，但如果要在数轴上表示无理数，就变得非常难以表示。因此，为了得到这个问题的简单解决方案，需要对无理数进行合理化，甚至在进一步研究集成、微分等高级主题时，这种子主题对解决它们有很大帮助。

为了使无理数有理化，假设有一个无理数 1/√2，

• 对于 1/√2 的合理化，需要从分母中删除根。
• 为了从分母中去除根，让我们用 √2 乘除这个无理数，即 1/√2 × √2 /√2。
• 使用根的一些性质如 √a × √a = a 求解该表达式后，它变为 (1 × √2)/(√2 × √2 ) = √2/2。

√2/2 = 1.41/2 现在可以很容易地在数轴上表示这一点。

让我们考虑另一个复杂的问题 3/(√5 + √3)。给定的问题可以通过一些类似的操作来解决或合理化，

• 为了使这种表达式合理化，将分子和分母中符号相反的分母相乘。
• (3/(√5 + √3)) × ((√5 – √3)/(√5 – √3))
• 使用属性 (a + b) × (a – b) = a ² – b ²
• (3/(√5 + √3)) × (√5 – √3)/(√5 – √3) = ((3 × √5) – (3 × √3))/(√5) ² – (√3) ²
• ((3 × √5) – (3 × √3)) / (√5) ² – (√3) ² = (3√5 – 3√3)/5 – 3
• (3√5 – 3√3)/5 – 3 = 3(√5 – √3)/2

因此，以这种方式，可以通过乘除给定问题中的分母来合理化一个无理数。

示例问题

问题 1：求解，(2√3 + √2)/(1 + √2)。

解决方案：

Multiply and divide by denominator with a question (make sign opposite from denominator) means (2√3 + √2)/(1 + 2) × (1 – √2 )/(1 – √2)

= ((2√3 + √2) – 2√6 – 4)/1 – 2

= -((2√3 + √2) – 2√6 – 4)

= (2√3 – √2) + 2√6 + 4.

问题 2：求解，√5/(√6 – √3)。

解决方案：

√5/(√6 – √3) × (√6 + √3)/(√6 + √3)

(√5 × (√6 + √3))/6 – 3

(√30 + √15)/ 3

问题 3：求解，(1 + √17)/√39。

解决方案：

= ((1 + √17)/√39) × √39/√39

= (√39 × (1 + √17))/√39 × √39

= (√39 + √663)/39.