什么是无理数？

用于表示数量和进行计算的算术值被定义为数字。像“456”这样代表数字的符号被称为 一个数字。没有数字，我们就无法计算事物、日期、时间、金钱等。这些数字也用于测量和标记。数字的属性使它们有助于对它们执行算术运算。这些数字可以写成数字形式，也可以写成文字。

例如，3 写成 3，35 写成 35，等等。学生可以把 1 到 100 的数字写成单词来了解更多。有不同类型的数字，我们可以学习。它们是整数和自然数，奇数和偶数，有理数和无理数等

数制

数字系统是一种通过书写显示数字的方法，它是一种数学方式，通过以数学方式使用数字或符号来表示给定集合的数字。以逻辑方式使用数字或符号来表示数字的书写系统被定义为数字系统。表示一组有用数字的数字系统也反映了数字的算术和代数结构并提供标准表示。从 0 到 9 的数字可以用来组成所有的数字。有了这些数字，任何人都可以创造无限的数字。例如，156,3907、3456、1298、784859 等。

无理数

在解释无理数之前，让我们简要介绍一下 有理数。可以表示为两个整数之间的比率的数字被定义为有理数。它是 a/b 的形式，这里“a”是分子，“b”是分母，其中 a 和 b 是整数，b ≠ 0。例如，分数 1/5 和 -2222/ 8 都是有理数数字。所有整数都包含在有理数中，我们可以将任何整数“z”写为 z/1 的比率。

非有理数或我们不能写成分数 a/b 的数被定义为无理数。这里的 √2 是一个无理数，如果计算 √2 的值，则 √2 = 1.14121356230951，并且这些数字会一直无穷大，不会重复，也不会终止。它不能写成 b 不等于 0 的 /b 形式。获取的值实际上是非终止的，并且小数点后的数字没有模式。这些类型的数字称为无理数。

计算时考虑√3，√3 = 1.732050807。接收到的模式是非重复和非终止的。所以这里的√3也是一个无理数。但是这里 √9 的情况 √9 = 3 这是一个有理数。完美平方的平方根永远是有理数。任何不是完美平方的数的平方根始终是无理数。无理数可以有一个永不结束且不重复的十进制扩展。非常有名的无理数是

Pi(π) = 3.14

Pi(π)用于计算圆的周长与同一圆的直径之比。已经进行了大量的计算，直到小数点后十亿位，但仍然没有找到任何模式，因此它是一个无理数。该模式看起来像 3.1415926535897932384626433832795。这里有一些无理数的例子是π, e, φ

e = 欧拉数，也是一个无理数。前几位数字看起来像 2.7182818284590452353602874713527654...

φ = 这是一个无理数。第一个数字看起来像 1.61803398874989484820...

无理数的一些性质

无理数的加减法

据此，无理数相加的结果不一定是无理数

(4 + √3)   +   (6 – √3) = 4 + √3  + 6 – √3 = 10. Here 10 is a rational number.

By this, the result of adding two irrational numbers is not an irrational number.

据此，无理数减法的结果不一定是无理数

(5+ √2 ) – (3 + √2) = 5+ √2 – 3 -√2 = 2. So Here 2 is a rational number.

无理数的乘法和除法

据此，两个无理数的乘积可以是有理数或无理数。

√2 × √3 = 6. Here the result is a rational number.

据此，两个无理数相除的结果可以是有理数或无理数。

√2 ÷ √3 =$\sqrt{\frac{2}{3}}$ Here the result is an irrational number.

示例问题

问题1：有理数和无理数中的哪一个？

5, -2, -.45678…, 6.5, √ 3, √ 2, √5

解决方案：

Here, 5 , -2 , 6.5 are all rational number as its can be expressed as a fraction and have terminating decimal. As 5 can be written as 5/1 and -2 can be written as -2/1 , and 6.5 as 65/10.

Whereas, √3 , √2 , √5 , -.45678…. are all irrational numbers as its cannot be expressed in fraction or having non-terminating, non repeating decimal, here if √5 is equal to non terminating decimal.. √5 = 2.2360679, and same for the √3 = 1.732.. here these represents the Irrational number.

问题 2：哪些是无理数？

0.5, π, 1/3, 0.857857

解决方案：

The numbers that cannot be expressed as fraction are irrational numbers. So here 0.5 can be written as 1/2 And 1/3 itself a fraction n 0.857857 can be written as 8578/1000 .so these are rational numbers. π is the only irrational here which can’t be expressed as fraction. 

问题 3：当你将两个无理数相乘时，你会得到不同的结果。如何？

回答：

Multiply √3 × √3, then it will give result as a rational number

√9 = 3 , Here 3 is rational number.

In second case, If we multiply, √3 × √5 , then it will give result as an irrational number.

=√15 , Here √15 Is an irrational number

So multiplication of two irrational numbers can give you both the result as rational or irrational.

问题4：确定以下数字是有理数还是无理数？

√2、84、8.432432432……、3.14159265358979……、√11、33/3。

解决方案：

84, 8.432432432…, and 33/3  are Rational numbers as either they are Integers or their decimal expansions are terminating, repeating.

√2, 3.14159265358979…, and √11 are Irrational numbers as their decimal Expansions are Non-terminating, Non-repeating.

问题 5：确定 6.5 是有理数还是无理数？

解决方案：

The number 4.5 is a rational number. Since rational numbers can also be expressed as decimals with repeating digits after the decimal point. Here we can write 6.5 as 65/10 and further write it as 15/2 = 6.5 so its a rational number.