门 | GATE CS 2012 | 问题14

这是 GATE CS 2012 年的一道考题，要求编写一个程序来解决问题。

问题描述

给定一个长度为 n 的非空数组 A，并定义 m 为数组中元素的最大值。现在我们可以对数组进行以下操作：

• 选择一个元素 x，将 x 减去 1。
• 选择一个元素 x，将 x 加上 1。

我们的目标是将数组中所有元素都变成 m，请问最少需要多少次操作。

解法

我们可以将问题转化为计算数组中每个元素与 m 的差的绝对值之和。这个值为 $S = \sum_{i=1}^n |A_i - m|$。

如果我们选择一个元素 x 并将其加上 1，那么 $S$ 的值将会减少 $n - 1$。同样地，如果我们选择一个元素 x 并将其减去 1，那么 $S$ 的值也会减少 $n - 1$。这意味着，当 m 是数组的中位数时，$S$ 的值最小。

为了计算数组中位数，我们可以将数组排序并选择其中间值。时间复杂度为 $O(n\log n)$。

我们的最终目标是将数组中所有元素变成 m，因此我们只需要将数组中所有大于中位数的元素减去 m，所有小于中位数的元素加上 m 即可。这里需要注意数组中可能有多个中位数，我们需要选择其中最小的那个。

时间复杂度为 $O(n\log n)$。

代码实现

def min_operations_to_make_all_elements_equal(A):
    n = len(A)
    m = sorted(A)[n // 2]
    S = sum(abs(x - m) for x in A)
    return S // (n - 1)

以上是 Python 代码实现，时间复杂度为 $O(n\log n)$。