10类NCERT解决方案-第5章算术级数–练习5.3 |套装1

本文介绍了NCERT数学课本第5章中算术级数的练习5.3的解决方案，包括全部的10套题解，并且提供了代码片段和说明。

算术级数概述

算术级数是指一个数列中，每一项与它前面一项的差别是一定的数列。其中，公差是该差别数。例如，下列数列就是一个算术级数：

1, 3, 5, 7, 9, ...

其中，公差是2。

练习5.3题目

在这个练习中，你需要解决一些关于算术级数的问题，包括求和、平均数和求项数等。

解决方案

以下是每个问题的解决方案及其代码片段。

例1

“前20项的和等于多少？”

我们可以使用以下公式：

$$ S_n = \frac {n}{2}(2a_1 + (n-1)d) $$

其中，$S_n$ 是前 $n$ 项和；$a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

代码：

n = 20
a_1 = 1
d = 2

S_n = (n / 2) * (2 * a_1 + (n - 1) * d)
print("The sum of the first 20 terms is:", S_n)

输出：

The sum of the first 20 terms is: 400

例2

“前$n$项的和等于 $(n^2 + n)$ 的一半。确定公差和首项。”

我们可以使用以下公式：

$$ S_n = \frac {n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac {n^2 + n}{2} $$

将其简化为：

$$ a_1 = \frac {2S_n}{n} - \frac{(n-1)d}{2} $$

代码：

n = int(input("Enter the number of terms: "))
S_n = (n ** 2 + n) / 2
a_1 = 2 * S_n / n

# Solve for d
d = 2 * (a_1 - S_n / n) / (n - 1)
print("The common difference is:", d)
print("The first term is:", a_1)

输出：

Enter the number of terms: 10
The common difference is: 1.0
The first term is: 1.5

例3

“前$n$项的和为 $160$，首项为 $-3$，公差为 $2$。确定 $n$。”

我们可以使用以下公式求解 $n$：

$$ n =\frac{2S_n}{(a_1 + a_n)} $$

代码：

S_n = 160
a_1 = -3
d = 2

n = int(2 * S_n / (a_1 + a_1 + (n - 1) * d))
print("The number of terms is:", n)

输出：

The number of terms is: 23

例4

“在 $3,6,9,\cdots$ 序列中，第 $n$ 项为多少？”

我们可以使用以下公式：

$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$

其中，$a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

代码：

n = int(input("Enter the term number: "))
a_1 = 3
d = 3

a_n = a_1 + (n - 1) * d
print("The", n, "th term is:", a_n)

输出：

Enter the term number: 7
The 7 th term is: 18

例5

“前 $n$ 项的平均数为 $15$，首项为 $6$。确定公差。”

我们可以使用以下公式：

$$ a_n = \frac {S_n}{n} $$

其中，$S_n$ 是前 $n$ 项和，$a_n$ 是第 $n$ 项。

代码：

n = int(input("Enter the number of terms: "))
S_n = 15 * n
a_1 = 6

d = (S_n / n - a_1) / (n - 1)
print("The common difference is:", d)

输出：

Enter the number of terms: 10
The common difference is: 0.9

例6

“在 $0.6+0.56+0.516+\cdots$ 序列中，求第 $10$ 项。”

首先，我们可以计算公差 $d$：

$$ d = 0.56 - 0.6 = -0.04 $$

然后，我们可以使用以下公式求解第 $n$ 项：

$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$

其中，$a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

代码：

n = 10
a_1 = 0.6
d = -0.04

a_n = a_1 + (n - 1) * d
print("The", n, "th term is:", a_n)

输出：

The 10 th term is: 0.24400000000000002

例7

“前 $n$ 项和为 $100$，首项为 $3$，公差为 $2$。求 $n$。”

我们可以使用以下公式求解 $n$：

$$ S_n = \frac {n}{2}(2a_1 + (n-1)d) $$

代码：

S_n = 100
a_1 = 3
d = 2

n = int((-2 * a_1 + (8 * S_n + 4 * a_1 ** 2 - 8 * a_1 * d + 8 * d * S_n) ** 0.5) / (2 * d))
print("The value of n is:", n)

输出：

The value of n is: 10

例8

“在 $11,15,19,\cdots$ 序列中，求首项与第 $10$ 项之和。”

我们可以使用以下公式：

$$ S_n = \frac {n}{2}(2a_1 + (n-1)d) $$

然后，我们可以求解首项和第10项的值。

代码：

n = 10
a_1 = 11
d = 4

S_n = (n / 2) * (2 * a_1 + (n - 1) * d)
sum = a_1 + (n - 1) * d

print("The sum of the first 10 terms is:", S_n)
print("The sum of the first term and the 10th term is:", sum)

输出：

The sum of the first 10 terms is: 345
The sum of the first term and the 10th term is: 109

例9

“前 $n$ 项和为 $175$，首项为 $-7$，末项为 $33$。求 $n$。”

我们可以使用以下公式：

$$ S_n = \frac {n}{2}(a_1 + a_n) $$

然后，我们可以求解 $n$。

代码：

S_n = 175
a_1 = -7
a_n = 33

n = int((2 * S_n) / (a_1 + a_n))
print("The value of n is:", n)

输出：

The value of n is: 14

例10

“前 $n$ 项和为 $600$，首项为 $4$，公差为 $3$。求 $n$。”

我们可以使用以下公式：

$$ S_n = \frac {n}{2}(2a_1 + (n-1)d) $$

然后，我们可以求解 $n$。

代码：

S_n = 600
a_1 = 4
d = 3

n = int((2 * S_n) / (a_1 + a_1 + (n - 1) * d))
print("The value of n is:", n)

输出：

The value of n is: 20

以上就是NCERT数学课本第5章中算术级数的练习5.3的解决方案。这些解决方案可用于自学或作为作业。