二次函数公式

函数称为代数函数，可以定义为多项式函数的根。这些是包含有限项的代数表达式，其中包含常量和变量。代数函数有很多种类型，其中一些是线性函数、二次函数、三次函数等。示例：

• 2x ⇢ 线性函数
• x ² + 2x + 3 ⇢ 二次函数
• x ³ + x ² + 6x + 9 ⇢ 三次函数

二次函数公式

方程中变量的最高指数为 2 的函数称为二次函数。二次函数是具有一个或多个变量的多项式函数。二次方程的标准形式是f(x) = ax ² + bx + c ，这表示给定方程中的至少一项是平方的。在上述等式中，a、b、c是常数项， x是变量。

f(x) = ax ² + bx + c,

其中a不等于0，a、b、c为实数。

多项式的次数 = 2。

二次函数的例子：

1. 4x ² + 3x + 5
2. 6x ² + x + 7
3. 7x ² + 5x
4. 9x ²

对于任何方程，都有n 个根，其中 n 是多项式的次数。二次方程的根是，

x = (-b ± √ (b² – 4ac) )/2a

二次方程根的推导

ax² + bx + c = 0

1. Start with ax² + bx + c=0
2. Divide the equation by a x² + (b/a) + c/a = 0
3. Put c/a on other side x² + (b/a) x = -c/a
4. Add (b/2a)² to both sides x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
5. The left hand side is now in the x² + 2dx + d² format, where “d” is “b/2a”

So re-write it this way:

“Complete the Square” (x+b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

二次方程有不同类型的根，

为了找到根的性质，我们使用了一个称为判别式的术语。该术语被称为判别式，因为它根据其符号确定二次方程的根。

根的性质有3种，

• 真实而独特的根源

对于真实的和不同的根，判别式应该是正的，即b ² – 4ac > 0。方程的曲线在两个不同的点与 x 轴相交。

• 实等根

对于实数和等根，判别式为零，即b ² – 4ac = 0。方程的曲线仅在一个点与 x 轴相交。

• 复根

对于复根，判别式为负，即b ² – 4ac = 0。方程的曲线不与 x 轴相交。

示例问题

问题 1：将二次函数f(x) = (x – 9)(x + 3)写成ax ² + bx + c的一般形式。

解决方案：

Given, the function as (x – 9)(x + 3)

= x² + 3x – 9x – 27

= x² – 6x – 27 is the general form.

问题 2：找出方程 4x ² + 5x + 9 = 0 的一般形式的常数 a、b、c。

回答：

Given, the equation is 4x² + 5x + 9 = 0, the general equation of an quadratic equation is ax² + bx + c = 0.

Therefore from the reference of the general equation, a = 4, b = 5, c = 9.

问题 3：将二次函数f(x) = (x + 8)(x – 3) 写成 ax ² + bx + c 的一般形式。

解决方案：

Given, the function as (x + 8)(x – 3)

= x² – 3x + 8x – 24

= x² + 5x – 24 is the general form

问题 4：求方程 2x ² – 4x + 2 = 0 的根。

解决方案：

Here a = 2, b = -4, c = 2, to find the roots of the equation, first we need to find the discriminant value which helps us to know the nature of roots.

discriminant = b² – 4ac = (-4)² – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0, which is equal to zero. So, it has real and equal roots.

roots = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

= (-(-4) ± √(0) ) / 2(4) )

= 1 is the root of the equation.

问题 5：求方程 4x ² – 3x + 3 的根。

解决方案：

Here a = 4, b = -3, c = 3, to find the roots of the equation, first we need to find the discriminant value which helps us to know the nature of roots.

discriminant = b² – 4ac = (-3)² – 4(4)(3) = 9 – 48 = -39, which is negative. So, it has complex roots.

roots = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

= (-(-3) ± √-39 / 2(4) )

= (3 ± 39i)/8 are the roots of the quadratic equation.

问题 6：求二次方程 6x ² – 8x + 2 = 0 的根。

解决方案：

Here a = 6, b = -8, c = 2, to find the roots of the equation, first we need to find the discriminant value which helps us to know the nature of roots.

discriminant = b² – 4ac = (-8)(-8) – 4(6)(2) = 64 – 48 = 16, which is positive. So, it has real and distinct roots.

 x = (-b ± √ (b² – 4ac) )/2a

= (-(-8) ± √((-8)(-8) – 4(6)(2))) / 2(6)

= ( 8 ± √16) / 12

=  ( 8 ± 4)12

= 1/3 and 1 are the roots of the equation.