完成正方形并将圆的方程写成标准形式 x2 + y2 + 10x – 10y +41 = 0

完成正方形并以标准形式写出圆的方程 x ² + y ² + 10x – 10y +41 = 0

圆锥截面也称为圆锥曲线，是在平面与圆锥相交时形成的。这些部分的形状取决于交叉点发生的角度。因此有四种类型的圆锥曲线，即圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些形状中的每一个都有自己的属性和数学方程式。下面讨论这个圆圈。

圆圈

在数学中，圆可以作为两种不同的事物进行研究：测量中的 2D 形状和 3D 几何中的圆锥截面。虽然它的属性可能保持不变，但与之相关的计算和算法却有些不同。

作为圆锥截面，圆是当平面与垂直于其轴线的圆锥相交时形成的形状。换句话说，当一个平面以 90° 切割直角圆锥时，就形成了一个圆。

如上图所示，一个直角圆锥和一个平面以直角相交，阴影区域是因为相交而形成的圆。

圆方程

• 具有中心 (h, k) 和半径 r 的方程的标准形式为：

(x - h) ² + (y - k) ² = r ²

• 圆方程的一般形式为：

x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0

完成正方形并以标准形式 x ² + y ² + 10x - 10y + 41 = 0 写出圆的方程。

解决方案：

Complete the square for x² − 10x.

(x + 5)² − 25 + y² − 10y = −41

⇒ (x + 5)² + y² − 10y = −41 + 25

Now complete the square for y² − 10y.

⇒ (x + 5)² + (y − 5)² − 25 = −41 + 25

⇒ (x + 5)² + (y − 5)² = −41 + 25 + 25

⇒ (x + 5)² + (y − 5)² = 9

类似问题

问题 1：求圆心在 (1,2) 且半径为 4 的标准方程。

解决方案：

The standard form of equation with Centre (h, k) and radius r is given as:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Given: The center is (3,4) and the radius is 5.

The equation of circle is:

(x−1)² + (y−2)² = 4²

⇒ x² +y² − 2x + 1 − 4y + 4 = 25

⇒ x² + y² − 2x − 4y – 20 = 0

问题 2：确定以 (3,6) 为圆心、半径为 10 的圆的标准方程。

解决方案：

The standard form of equation with Centre (h, k) and radius r is given as:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Given: The center is (3, 6) and the radius is 10.

The equation of circle is:

(x − 3)² + (y − 6)² = 10²

⇒ x² +y² − 6x + 9 − 12y +36 = 100

⇒ x² + y² − 6x − 12y − 55 = 0

问题 3：写出圆心在 (0,0) 且半径为 2 的圆的标准方程。

解决方案：

The standard form of equation with Centre (h, k) and radius r is given as:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Given: The center is (0, 0) and the radius is 2.

The equation of circle is:

(x − 0)² + (y − 0)² = 2²

⇒ x² +y² = 4

问题 4：写出圆心在 (0,0) 且半径为 8 的圆的标准方程。

解决方案：

The standard form of equation with Centre (h, k) and radius r is given as:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Given: The center is (0,0) and the radius is 8.

The equation of circle is:

(x − 0)² + (y − 0)² = 8²

⇒ x² +y² = 64

问题 5：写出圆心为 (0,0)、半径为 10 的圆的标准方程。

解决方案：

The standard form of equation with Centre (h, k) and radius r is given as:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Given: The center is (0,0) and the radius is 10.

The equation of circle is:

(x − 0)² + (y − 0)² = 10²

⇒ x² +y² = 100