问题 15 - 门| GATE-CS-2003

这里有一道名为“门”的问题。这个问题最初出现在GATE（计算机科学工程考试）的2003年版。下面我将为你介绍这道题目的相关信息。

题目描述

从一个正有$n$个门的街道的一端开始，门的编号从1到$n$。最初所有的门都是关上的。你需要进行$n$次通过这些门的操作。在第$i$次操作中，你需要经过门编号为$i$、$2i$、$3i$、...的门，并将它们打开或关闭。也就是说，如果门是关上的，你需要把它打开；如果门是打开的，你需要把它关上。

最终的结果将是一系列门被打开或关闭的状态。你需要返回最终打开的门的编号。

示例

• 输入：n = 5
• 输出：[1, 4]
• 解释：第1次操作会打开1、2、3、4、5号门；第2次操作会打开2、4门；第3次操作会打开3门；第4次操作会打开4门；第5次操作会打开5号门。最终打开的门的编号是1和4。

解题思路

对于每个门，你需要找到它被操作的次数。如果一个门被操作的次数是奇数，那么它最终会是打开的状态，如果是偶数次，那么它最终会是关闭状态。因此，对于每个门，你只需要判断它被操作了几次即可。

代码实现

下面是一个用Python实现的函数，用于解决这道问题。

def final_open_doors(n):
    open_doors = []
    for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
        open_doors.append(i * i)
    return open_doors

调用这个函数，你可以得到一个列表，其中包含最终打开的门的编号。

n = 10
final_doors = final_open_doors(n)
print(final_doors)  # [1, 4, 9]

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\sqrt{n})$，因为我们只需要遍历门的编号从1到$\sqrt{n}$的门。
• 空间复杂度：$O(\sqrt{n})$，存储最终打开的门的编号。