10类NCERT解决方案-第4章二次方程式-练习4.1

本文介绍了《10类NCERT解决方案》中第4章二次方程式的练习4.1的内容和解答方法。本章的主要内容是学习二次方程的基本概念和解决方法。下面我们来详细了解练习4.1内容及解决方案。

练习4.1内容

练习4.1共有十个问题，涉及到二次方程的解法和求根公式等基本知识。具体问题如下：

1. 如果 x^2 + 3x + m = 0 的根是实数，则m的范围是多少？
2. 如果 a, b 是正实数，且满足 a + b = 1，则证明 x^2 + ax + b = 0 的两个根都是负数。
3. 如果两个根为 -2 和 3 的二次方程是 x^2 + px + q = 0，则 p 和 q 的值分别是多少？
4. 证明，如果一个二次方程 x^2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根，则b^2 > 4c。
5. 如果一个二次方程的根是 3 +√2，则求出另一个根.
6. 如果 b > 0，且二次方程 bx^2 + x + 1 = 0 有两个实数根，则 b 的范围是多少？
7. 如果二次方程 (k + 2)x^2 + (k + 1)x + 1 = 0 有两个正实数根，则 k 是否是正实数？
8. 如果二次方程 x^2 + x + k = 0 有实数根，则 k 的范围是什么？
9. 如果二次方程 ax^2 + bx + c = 0 有两个正实数根，则 a, b, c 是否都是正数？
10. 如果一个二次方程 x^2 + 2x + k = 0 的两个根的和和积相等，则 k 的值是多少？

解决方案

练习4.1是一个关于二次方程的练习题，需要掌握二次方程基本概念和求根公式的基础知识。下面，我们将分别介绍这十个问题的解决方法。

问题1

求解 x^2 + 3x + m = 0 的一般解式：

x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

其中，a = 1，b = 3，c = m。

由题可得该方程的判别式 D = b^2 - 4ac，要求方程的根是实数，即 D ≥ 0。

代入数值，得到不等式 9 - 4m ≥ 0，解得 m ≤ 9/4。

因此，当 m ∈ (-∞，9/4] 时，x^2 + 3x + m = 0 的根是实数。

问题2

证明 x^2 + ax + b = 0 的两个根都是负数，等价于证明以下两个条件同时成立：

• 该二次方程存在实根；
• 该二次方程的两个实根均小于零。

对于该方程，其判别式为 D = a^2 - 4b。

由题可知，a, b 均为正实数，且 a + b = 1。

因此，D = a^2 - 4b ≤ a^2 < 1。

又因为 D ≥ 0，所以 a^2 < 1，即 -1 < a < 1。

在 -1 < a < 1 的前提下，考虑当 a 取不同值时，该二次方程的根的情况，见下表：

| a | b | 根 | | ---- | ---------------- | ------------------ | | -1/2 | 3/4 | (-1±√5) / 2 | | -1/3 | 4/9 | (-3±√5) / 2 | | -1/4 | 5/16 | (-2±2√2) / 2 | | … | … | … | | 0 | 1 | -1 | | 1/4 | 3/16 | (-1±√2) / 2 | | 1/3 | 2/9 | (-2±√5) / 2 | | 1/2 | 1/4 | (-a±√(a^2-4b))/2a |

由表及式可知，当 a > 0 时，-a±√(a^2-4b) < 0，即该二次方程的两个根均小于零。

因此，当 a, b 是正实数，且满足 a + b = 1 时，x^2 + ax + b = 0 的两个根都是负数。

问题3

由题可知，两个根为 -2 和 3 的二次方程是 x^2 + px + q = 0。

根据二次方程的基本定理，有：

• 二次方程的两个根之和为 -p；
• 二次方程的两个根之积为 q。

因此，可得出以下方程组：

-2 + 3 = -p                => p = -1
(-2) * 3 = q              => q = -6

故 p = -1，q = -6。

问题4

证明，如果一个二次方程 x^2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根，则 b^2 > 4c。

设二次方程的两个实数根为 x1 和 x2。

根据二次方程的求根公式，有：

x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a

考虑当二次方程的两个实数根不相等时，即 x1 ≠ x2 时的情况：

x1 + x2 = -b/a ≠ 0   => b ≠ 0
x1 - x2 = ±√(b^2-4ac) ≠ 0   => b^2 - 4ac > 0   => b^2 > 4ac

因此，二次方程 x^2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根，则 b^2 > 4c。

问题5

设该二次方程的另一个根为 x2。

根据题意，已知一个根为 3 +√2，即 x1 = 3 +√2。

根据二次方程的性质，有：

x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a

因此，可得到以下方程组：

x1 + x2 = -2
x1 * x2 = k

代入已知条件 x1 = 3 +√2，得到：

x2 = -2 - x1 = -5 - √2

因此，该二次方程的另一个根为 -5 - √2。

问题6

如果 bx^2 + x + 1 的两个实数根为 x1 和 x2。

考虑当 x1 * x2 > 0 时的情况：

b > 0 时，x1 * x2 > 0 => x1, x2 同号

设 x1, x2 均为正数，则有：

x1 + x2 = -1/b < 0
x1 * x2 = 1/b > 0

因此，b < 0。

同理，当 x1 * x2 < 0 时，b > 0。

因此，当 bx^2 + x + 1 的两个实数根存在时，且两个实数根符号相同，则 b < 0。

### 问题7

考虑当 (k + 2)x^2 + (k + 1)x + 1 = 0 的两个正实数根都存在时的情况。

根据二次方程的求根公式，有：

x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

因此，对于正实数根，有：

b^2 - 4ac > 0

代入已知条件，得到以下不等式：

(k + 1)^2 > 4(k + 2)

化简得到：

k^2 - 6k - 15 < 0

其两个根分别为 -3 和 5。

因此，当 k ∈ (-3，5) 时，(k + 2)x^2 + (k + 1)x + 1 = 0 的两个正实数根都存在。

### 问题8

二次方程 x^2 + x + k = 0 的实数根为：

x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

其中，a = 1，b = 1，c = k。

要使该二次方程有实数根，需要满足判别式 D = b^2 - 4ac ≥ 0。

代入数值得到：

1 - 4k ≥ 0 k ≤ 1/4

因此，当 k ∈ (-∞，1/4] 时，x^2 + x + k = 0 有实数根。

### 问题9

如果二次方程 ax^2 + bx + c = 0 有两个正实数根，则 a, b, c 是否都是正数？

答案是不一定。

考虑如下两个二次方程：

x^2 + x + 1/4 = 0 -x^2 + x + 1/4 = 0

它们的判别式分别为 D1 = 1 - 1 = 0 和 D2 = 1 - 1 = 0，因此它们都有一个实数根。

但不难发现，它们的系数不都是正数。

因此，二次方程 ax^2 + bx + c = 0 有两个正实数根，不一定要求 a, b, c 都是正数。

### 问题10

已知二次方程 x^2 + 2x + k = 0 的两个根之和和积相等，即：

x1 + x2 = -2/1 x1 * x2 = k/1

代入公式得到：

x1, x2 = -1 ± √(1 + k)

将其代入下式：

(x1 + x2)^2 = (x1 * x2) * 4

得到：

1 + k = 4

因此，k = 3。

代入原式得到：

x^2 + 2x + 3 = 0

该二次方程的两个根分别为：

x1, x2 = -1 ± √2

因此，当二次方程 x^2 + 2x + k = 0 的两个根之和和积相等时，k = 3。

以上为第4章二次方程式练习4.1的全部内容。需要注意的是，在学习过程中，需要牢固掌握二次方程的基本概念和求根公式，才能更好地完成练习题目，并以此为基础继续深入学习更高层次的数学知识。