门| GATE-CS-2009 |问题 13

这是一道GATE CS 2009年的问题，该问题出现在计算机科学领域的组合数学部分。问题描述如下：

在一个包含n个输入元素的列表中，查找给定元素x (0 <= x <= n) 的位置。如果x不在列表中，则返回n。假设该列表是已排序的但同时使用了轮换操作，即将列表的最后一个元素移到列表的前面。通常的二分查找算法的时间复杂度为O(log n)。针对这种轮换列表，一次查找的最坏时间复杂度是多少？

这里是这道问题的解决方法：

考虑一个简单的情况：列表未进行任何轮换操作。对于这种情况，二分查找算法的时间复杂度为O(log n)。

现在，考虑在进行了k次轮换操作的列表中查找元素x。列表是排序的，因此我们可以使用二分查找算法来查找元素x。该算法的中心操作是确定子列表的中间元素以检查与目标元素x的相对大小。我们将在下面讨论该中心操作。在搜索期间，假设我们已经将列表分成A和B两个部分。用中心元素来划分列表后，A和B两个部分可能的情况如下图所示：

可以看到，在这两种情况中，有一部分是有序的。我们可以利用已排序列表的性质来优化我们的查找操作。我们将x与两个有序列表的极值比较，因此我们可以轻而易举地判断x是否在某个排序列表中。如果x不在排序列表中，那么我们可以抛弃它，只需继续搜索有序列表中的另一部分。

因此，我们可以将时间复杂度的分析分为两种情况：在一个部分中的情况，时间复杂度为O(log n)。在其他情况下，时间复杂度将介于O(log n)和O(n)之间。

因此，该算法的最坏时间复杂度为O(log n)到O(n)之间。然而，在平均情况下，搜索时间复杂度仍为O(log n)。

## 时间复杂度

该算法的最坏时间复杂度为O(log n)到O(n)之间。然而，在平均情况下，搜索时间复杂度仍为O(log n)。

参考资料：

• GeeksforGeeks - Search an element in a sorted and rotated array
• labuladong - 二分查找详解