如何找到线性Diophantine方程的初始积分解

线性Diophantine方程是形如 $ax+by=c$ 的方程，其中 $a,b,c$ 均为整数。找到这类方程的通解是比较困难的，但如果存在有限解，那么我们可以通过一些方法找到其初始积分解。本文将介绍一种比较简单的方法。

方法概述

方法的基本思想是，先找到 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组整数解 $(x_0,y_0)$，然后通过一些简单的变换得到 $ax+by=c$ 的一组整数解。要注意的是，这个方法只适用于存在有限解的情况。

代码实现

下面给出 Python 代码实现。其中，egcd() 函数用于求解 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组整数解。find_initial_solution() 函数则是本文介绍的方法的实现。

def egcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x, y = egcd(b, a % b)
        return gcd, y, x - (a // b) * y

def find_initial_solution(a, b, c):
    gcd, x0, y0 = egcd(a, b)
    if c % gcd != 0:
        return None
    else:
        k = c // gcd
        x0 *= k
        y0 *= k
        # 如果 a 或 b 中有负数，则把负号全部移到 x 上
        if a < 0:
            a = -a
            x0 = -x0
        if b < 0:
            b = -b
            y0 = -y0
        # 把 x0,y0 向左移动，使得 x0 最小正数
        k = x0 // b
        x0 = x0 - k * b
        y0 = y0 + k * a
        return x0, y0

使用样例

以下是一个使用样例：

>>> find_initial_solution(14, 21, 35)
(-35, 35)

这说明 $14x+21y=35$ 的一个整数解为 $(-35,35)$。

总结

本文介绍了一种简单的方法，用于找到线性Diophantine方程 $ax+by=c$ 的初始积分解。这个方法只适用于存在有限解的情况。