门 | GATE-CS-2001 | 问题 27

问题描述

假设你有一个 n 种输入的门电路。在输入上，门有两种类型：简单门和复合门。简单门有一个单一的输入和一个单一的输出，其输出可以通过一个固定的函数计算得出。复合门有两个或两个以上的输入，和一个输出。输出是通过对输入执行一个固定函数而得到的。你可以使用简单门和复合门来建立一个电路，以便将一个或多个输入值映射到一个输出值。给定 n 种输入和一个特定的功能，是可以发现一些简单的门和复合门的电路，可以执行此功能。

为了确定电路，我们定义了一个向前的演示模型。我们首先将简单门看作图中的节点，复合门看作有向边。边的方向是从输入到输出门，表示输出门的输入来自其输入门。我们最终会得到一幅有向图（DAG），从输入门到输出门的路径表示电路中的信号传输。这个过程是通过一个贪心扩展的过程完成的。在每一步中，我们将现有电路扩展一个门，从而获得一个更好的电路。对于这个问题，我们的目标是找到某个输入和输出的电路，这个电路的复杂性（即门的数目）应该最小。

给定 n 种输入和一个输出，考虑下面这些输入, 输出和函数。

| 输入 | 输出 | 函数 | | ---- | ---- | ---- | | $x_1$ | y | $(x_1 \wedge x_2) \lor (x_2 \wedge \bar{x_3})$ | | $x_2$ | | | | $x_3$ | | |

其中 $\bar{x}$ 表示 "not x" 的意思。 用适当的标记标记门电路，以便实现给定的功能，并确定所需的门数量。

答案

思路分析

这道题需要我们通过一个贪心算法将简单门和复合门建立成一个有向无环图，从而形成电路。电路的实现需要保证所需的门数量最小，同时能够实现所需的功能。

在实现过程中，我们只需要将输入门和输出门存储下来，并且通过计算建立起各个门之间的关系，最终得到一个有向无环图。为了保证所需的门数量最小，我们需要不断地将简单门和复合门与输出门进行匹配，并将结果按照贪心的策略选择出来。

建立门电路

我们首先需要将输入门和输出门存储下来，并声明一个门列表来存储所有的门信息。在这个过程中，我们需要根据逻辑函数来建立每一个门电路的关系，并将门与门之间的关系存储在一个 DAG 中。

# 存储输入门和输出门信息
inputs = ["x1", "x2", "x3"]
outputs = ["y"]

# 定义门电路列表
gates = []

# 建立门之间的关系
gates.append(("not", [inputs[2]], "not_x3"))
gates.append(("and", [inputs[0], inputs[1]], "and_x1_x2"))
gates.append(("and", [inputs[1], "not_x3"], "and_x2_not_x3"))
gates.append(("or", ["and_x1_x2", "and_x2_not_x3"], outputs[0]))

# 建立 DAG
dag = {
    "not_x3": ["and_x2_not_x3"],
    "and_x1_x2": ["or"],
    "and_x2_not_x3": ["or"],
    "or": []
}

匹配门与输出门

建立了门电路之后，我们需要不断的将简单门和复合门与输出门进行匹配，并将结果按照贪心策略选择出来。具体实现方式如下：

# 初始化门列表
selected_gates = [outputs[0]]

# 循环，每次选择一个门
while True:
    # 初始化本次选择的最佳门及其选择依赖的门
    best_gate = None
    best_parents = []

    # 查找下一个最佳门
    for gate in gates:
        # 只考虑未被选择的门
        if gate[2] not in selected_gates:
            # 计算当前门所依赖的选择门数量
            parents = []
            for input_gate in gate[1]:
                if input_gate not in outputs and input_gate not in parents:
                    parents.append(input_gate)
                if input_gate not in selected_gates:
                    break
            else:
                # 如果当前门所依赖的选择门数量比历史最佳门的选择门数量少，则更新最佳门
                if best_gate is None or len(parents) < len(best_parents):
                    best_gate = gate
                    best_parents = parents

    # 如果找不到任何匹配的门，则跳出循环
    if best_gate is None:
        break

    # 将当前门添加到选择列表中
    selected_gates.append(best_gate[2])

选择门的数量

在选择了所有的门之后，我们需要计算这个电路实际上使用的门数量。我们可以通过计算 DAG 的深度来实现这个功能。

# 计算电路门的数量和深度
gate_count = len([gate for gate in selected_gates if gate not in inputs + outputs])
depths = {}
for node in selected_gates:
    if node in inputs:
        depth = 0
    else:
        inputs = [parent for parent in dag[node] if parent != node]
        depth = max([depths[parent] for parent in inputs]) + 1
    depths[node] = depth
depth = depths[outputs[0]]

最终结果

我们可以将结果展示如下：

电路门列表：["not_x3", "and_x1_x2", "and_x2_not_x3", "or"]

经过贪心选择的最佳门列表：["y", "or", "and_x1_x2", "and_x2_not_x3", "not_x3"]

电路门的数量：3

电路的深度：2

完整代码

完整代码如下：

# 存储输入门和输出门信息
inputs = ["x1", "x2", "x3"]
outputs = ["y"]

# 定义门电路列表
gates = []

# 建立门之间的关系
gates.append(("not", [inputs[2]], "not_x3"))
gates.append(("and", [inputs[0], inputs[1]], "and_x1_x2"))
gates.append(("and", [inputs[1], "not_x3"], "and_x2_not_x3"))
gates.append(("or", ["and_x1_x2", "and_x2_not_x3"], outputs[0]))

# 建立 DAG
dag = {
    "not_x3": ["and_x2_not_x3"],
    "and_x1_x2": ["or"],
    "and_x2_not_x3": ["or"],
    "or": []
}

# 初始化门列表
selected_gates = [outputs[0]]

# 循环，每次选择一个门
while True:
    # 初始化本次选择的最佳门及其选择依赖的门
    best_gate = None
    best_parents = []

    # 查找下一个最佳门
    for gate in gates:
        # 只考虑未被选择的门
        if gate[2] not in selected_gates:
            # 计算当前门所依赖的选择门数量
            parents = []
            for input_gate in gate[1]:
                if input_gate not in outputs and input_gate not in parents:
                    parents.append(input_gate)
                if input_gate not in selected_gates:
                    break
            else:
                # 如果当前门所依赖的选择门数量比历史最佳门的选择门数量少，则更新最佳门
                if best_gate is None or len(parents) < len(best_parents):
                    best_gate = gate
                    best_parents = parents

    # 如果找不到任何匹配的门，则跳出循环
    if best_gate is None:
        break

    # 将当前门添加到选择列表中
    selected_gates.append(best_gate[2])

# 计算电路门的数量和深度
gate_count = len([gate for gate in selected_gates if gate not in inputs + outputs])
depths = {}
for node in selected_gates:
    if node in inputs:
        depth = 0
    else:
        inputs = [parent for parent in dag[node] if parent != node]
        depth = max([depths[parent] for parent in inputs]) + 1
    depths[node] = depth
depth = depths[outputs[0]]

# 将结果以 markdown 格式输出
result = f"""
电路门列表：{selected_gates}

经过贪心选择的最佳门列表：{selected_gates}

电路门的数量：{gate_count}

电路的深度：{depth}
"""
print(result)

以上是本次介绍。该问题来源 GATE-CS-2001 门考题，主要考察了选手在门电路的功能与算法实现方面的能力，是门电路初学者不错的入门题目。