二叉树所有垂直层次的总和

介绍

二叉树是计算机科学中最为基础的数据结构之一，其中每个节点最多有两个子节点。在二叉树中，垂直层次指的是从根节点到叶子节点所经过的边的数量。本文将介绍如何求取二叉树中所有垂直层次的总和，这在某些应用场景下非常有用。

实现思路

这里介绍两种实现思路。

思路一

我们可以使用哈希表来存储每个节点所处的垂直层次，然后对每个节点进行遍历，累加它们的垂直层次值即可。

具体操作步骤如下：

1. 创建一个哈希表 table，用于存储节点的垂直层次。
2. 创建一个队列 queue，并将根节点入队。
3. 对于队列中的每个节点：
   1. 从队列头部弹出一个节点 node。
   2. 如果 node 左子节点不为空，将左子节点入队，并将 node 垂直层次值减一存入 table。
   3. 如果 node 右子节点不为空，将右子节点入队，并将 node 垂直层次值加一存入 table。
4. 遍历 table 中的每对键值对，累加所有的垂直层次值并返回结果。

具体的算法实现可参考以下 Python 代码：

def vertical_sum(root):
    table = {}
    queue = [(root, 0)]
    while queue:
        node, level = queue.pop(0)
        if node.left:
            queue.append((node.left, level - 1))
            table[level - 1] = table.get(level - 1, 0) + node.left.val
        if node.right:
            queue.append((node.right, level + 1))
            table[level + 1] = table.get(level + 1, 0) + node.right.val
    return sum(table.values())

思路二

我们也可以不使用哈希表，而是使用一个数组来存储每个垂直层次的节点值之和，从而避免使用哈希表的额外空间。

具体操作步骤如下：

1. 创建一个数组 sums，用于记录每个垂直层次的节点值之和。
2. 创建一个队列 queue，并将根节点和垂直层次值入队。
3. 对于队列中的每个节点：
   1. 从队列头部弹出一个节点 node 和它的垂直层次值 level。
   2. 将该节点的值加入 sums 数组中 level 对应的位置。
   3. 如果 node 的左子节点不为空，将左子节点和 level - 1 入队。
   4. 如果 node 的右子节点不为空，将右子节点和 level + 1 入队。
4. 遍历 sums 数组，累加所有的节点值之和并返回结果。

具体的算法实现可参考以下 Python 代码：

def vertical_sum(root):
    leftmost, rightmost = float('inf'), float('-inf')
    queue = [(root, 0)]
    while queue:
        node, level = queue.pop(0)
        leftmost = min(leftmost, level)
        rightmost = max(rightmost, level)
        if node.left:
            queue.append((node.left, level - 1))
        if node.right:
            queue.append((node.right, level + 1))
    sums = [0] * (rightmost - leftmost + 1)
    queue = [(root, 0 - leftmost)]
    while queue:
        node, level = queue.pop(0)
        sums[level] += node.val
        if node.left:
            queue.append((node.left, level - 1))
        if node.right:
            queue.append((node.right, level + 1))
    return sum(sums)

总结

本文介绍了如何求取二叉树中所有垂直层次的节点值之和，包括了使用哈希表和数组两种实现思路。这种算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 表示二叉树中的节点数量。在一些与二叉树的结构有关的问题中使用这种算法非常有用，例如在二叉树的可视化中，我们可以根据节点的垂直层次对它们进行排列。