DAA | 子集和问题

简介

子集和问题（Subset Sum Problem）是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定一组正整数集合 S 和一个目标和 T 时，从集合 S 中找出是否存在一个子集，使得这个子集的元素和等于目标和 T。该问题属于 NP 完全问题，因此不存在多项式时间的算法。

算法

我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决子集和问题。此时，我们首先需要定义一个 0/1 状态转移方程 S(i,j)，表示前 i 个元素是否可以组成和为 j 的子集。则状态转移方程为：

S(i,j) = S(i-1,j) || S(i-1,j-S(i)),

其中，第一项表示不选择第 i 个元素，第二项表示选择第 i 个元素。同时，当 j 等于 0 时，表示什么也不选的空集合。

然后我们通过填充 S 数组，可以得到 S(S.length, T)，即是否存在和为 T 的子集。

代码实现

bool isSubsetSum(vector<int>& nums, int target) {
    // 初始化二维 DP 数组
    int n = nums.size();
    vector<vector<bool>> dp(n+1, vector<bool>(target+1, false));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = true;
    }
    // 填充 DP 数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= target; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] || (j >= nums[i-1] ? dp[i-1][j-nums[i-1]] : false);
        }
    }
    // 返回最后的结果
    return dp[n][target];
}

总结

子集和问题的时间复杂度为 O(nT)，其中 n 为 S 集合的大小，T 是目标和的大小。虽然这个算法存在指数级别的暴力解法，但 DP 算法的时间复杂度还是可以接受的。

在实际应用中，子集和问题和其他相似的组合优化问题非常相似，例如 0/1 背包问题等。因此，我们可以通过 DP 算法来解决这些问题。