使用 epsilon 实现 NFA 的计划迁移到 DFA 转换

在计算机科学中，NFA（非确定性有限状态自动机）和 DFA（确定性有限状态自动机）都是用于识别和处理字符串的计算机模型。NFA 相对于 DFA 更加灵活，但也更加复杂和难以处理。因此，在实际的计算机应用中，我们需要将 NFA 转换为 DFA，以便更高效地处理字符串。

本篇文章将会介绍使用 epsilon 实现 NFA 的计划，然后将其转换为 DFA，以便程序员们更好地理解和应用这一过程。

NFA 和 DFA

在开始介绍具体实现方法之前，我们需要先简单介绍一下 NFA 和 DFA。

NFA 是一种有限状态自动机，其中一个状态可以有多个转移的目标状态，这些状态中的一个状态可以用于接受输入序列。NFA 可以用于描述诸如“包含某个子序列”等问题。

与之相反，DFA 只有一个输出状态，且对于每个状态和输入组合都只存在一条转移边。DFA 通常用于检查输入字符串是否符合某种语言规范。

NFA 转换为 DFA

接下来，让我们介绍如何将 NFA 转换为 DFA。

NFA 转换为 DFA 的大致过程如下：

1. 针对 NFA 中每个状态 S，找到包含 S 的所有状态 T（包括 S 本身）。
2. 对于每个 T，找到在输入字符 a 下到达的所有状态 U。
3. 将所有状态 U 聚合成一个新的 DFA 状态，并将其标记为“访问”。
4. 重复步骤1-3，直到所有状态都被访问。

在进行上述操作时，我们需要计算 ε-闭包。ε-闭包指可以从当前状态通过反复经过 ε 转移到达的所有状态。

对于每个 DFA 状态，我们需要计算从该状态出发可以到达的所有 NFA 状态的 ε-闭包。这可以用 DFS（深度优先搜索）实现。

接着，我们需要求出每个 DFA 状态在接收不同字符时可以到达的下一个状态。这个操作也可以用 DFS 实现，但需要手动跟踪 ε-闭包。

最后，我们需要识别哪个 DFA 状态是接受状态。如果任意一个包含 NFA 接受状态的 DFA 状态被访问了，则该 DFA 状态也是接受状态。

实现

下面是将 NFA 转换为 DFA 的代码示例，其中涉及 ε-闭包和 DFS 算法：

'''
states: NFA 所有状态的集合
start_state: NFA 起始状态
accept_states: NFA 所有接受状态的集合
transition_function: NFA 状态转移函数（映射）
'''

def nfa_to_dfa(states, start_state, accept_states, transition_function):
    # 用于保存新的 DFA 状态的集合
    dfa_states = []
    # 用于保存 DFA 状态的集合对应的 NFA 状态的 ε-闭包
    dfa_state_to_nfa_states = []
    # 用于保存每个状态接受不同字符后能到达哪个状态的映射
    dfa_transition_function = []
    # 初始化
    nfa_to_dfa(start_state, states, accept_states, transition_function, dfa_states, dfa_state_to_nfa_states, dfa_transition_function)
    # 从起始状态开始遍历，识别最终 DFA 中是否有接受状态
    accept_dfa_states = []
    dfa_states_to_check = [0]
    while len(dfa_states_to_check) > 0:
        dfa_state = dfa_states_to_check.pop()
        if dfa_state not in accept_dfa_states:
            accept_dfa_states.append(dfa_state)
            for nfa_state in dfa_state_to_nfa_states[dfa_state]:
                if nfa_state in accept_states:
                    break
            for symbol in symbols:
                state_transition = dfa_transition_function[dfa_state][symbol]
                if state_transition not in dfa_states_to_check:
                    dfa_states_to_check.append(state_transition)
                    if state_transition not in accept_dfa_states:
                        for nfa_state in dfa_state_to_nfa_states[state_transition]:
                            if nfa_state in accept_states:
                                accept_dfa_states.append(state_transition)
                                break
    return dfa_states, dfa_transition_function, accept_dfa_states

def nfa_to_dfa(state, states, accept_states, transition_function, dfa_states, dfa_state_to_nfa_states, dfa_transition_function):
    if len(dfa_state_to_nfa_states) <= state or dfa_state_to_nfa_states[state] is None:
        # 计算当前 DFA 状态对应 NFA 状态的 ε-闭包
        nfa_states = epsilon_closure([states[state]], states, transition_function)
        dfa_state_to_nfa_states[state] = nfa_states
        if nfa_states is None:
            return

        dfa_states.append(state)

        for symbol in symbols:
            # 计算从当前 DFA 状态接收 symbol 后到达的 NFA 状态
            nfa_states_for_symbol = set()
            for nfa_state in nfa_states:
                if (nfa_state, symbol) in transition_function:
                    nfa_states_for_symbol = nfa_states_for_symbol.union(set(transition_function[(nfa_state, symbol)]))

            # 计算对应的 DFA 状态
            for i in range(len(dfa_state_to_nfa_states)):
                if dfa_state_to_nfa_states[i] == nfa_states_for_symbol:
                    dfa_transition_function[state][symbol] = i
                    break
            else:
                dfa_transition_function[state][symbol] = len(dfa_states)
                nfa_to_dfa(len(dfa_states), states, accept_states, transition_function, dfa_states, dfa_state_to_nfa_states, dfa_transition_function)

def epsilon_closure(states, nfa_states, transition_function):
    closure = set(states)
    stack = [state for state in states]
    while len(stack) > 0:
        current = stack.pop()
        if (current, None) in transition_function:
            for state in transition_function[(current, None)]:
                if state not in closure:
                    closure.add(state)
                    stack.append(state)
    return sorted(list(closure)))

# 测试
states = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
start_state = 0
accept_states = [4, 5]
transition_function = {
    (0, 'a'): [1],
    (0, 'b'): [2],
    (1, 'a'): [3],
    (2, 'b'): [3],
    (3, 'a'): [4],
    (3, 'b'): [5]
}
symbols = ['a', 'b']
dfa_states, dfa_transition_function, accept_dfa_states = nfa_to_dfa(states, start_state, accept_states, transition_function)
print(dfa_states)
print(dfa_transition_function)
print(accept_dfa_states)

结论

在这篇文章中，我们介绍了如何将 NFA 转换为 DFA。我们首先讨论了 NFA 和 DFA 的区别，然后解释了实现过程中需要使用的概念和算法。最后，我们提供了一个代码示例。

通过此文的介绍，我们希望程序员们能够更好地理解和应用将 NFA 转换为 DFA 的过程。