算法测验 | 须藤放置[1.8] | 问题13

本篇算法测验涉及到须藤放置任务中的第1.8个版本，问题13。须藤放置是一款著名的益智游戏，提供了一系列有趣的算法问题。在这个问题中，我们要求编写一个函数来计算给定范围内的质数个数。

问题描述

给定两个整数n和k，计算在区间[2, n]中，有多少个质数可以表示成p1^k1 * p2^k2 * …… * pt^kt的形式，其中p1、p2、……、pt均为质数，k1、k2、……、kt均为整数且均大于等于k。

解题思路

本题考查计算质数的算法。一个很简单的方法是用埃拉托色尼筛法，它的思想是从小到大枚举每个数，将它的所有倍数都标记成合数。这个算法的时间复杂度为O(n log log n)。

但是在本题中，我们需要计算每个质数的幂，所以更简单和高效的算法是线性筛法。这个算法的时间复杂度也是O(n log log n)。

算法的思路是：

1. 记录每个数的最小质因子（最小质因子p是指p是最小的质数且能整除n）
2. 每个合数只会被它的最小质因子筛掉，即按照从小到大的顺序枚举质数时，每个合数都只会被它的最小质因子筛掉。
3. 在每个质数p的情况下，枚举p的幂（p^k）并计算它们在区间[2, n]中的出现次数，最后统计总的质数个数。
4. 返回计数器的值。

根据以上算法，可以得到以下代码片段：

def count_prime(n: int, k: int) -> int:
    if n < 2:
        return 0

    # 最小质因子初始化为0
    primes = [0] * (n + 1)

    count = 0
    # 计算素数
    for i in range(2, n + 1):
        if primes[i] == 0:
            primes[i] = i
            count += 1
            # 枚举p的幂
            for j in range(2, k + 1):
                x = i ** j
                if x > n:
                    break
                # 计算p^k在[2, n]中的出现次数
                count += n // x

        # 按照从小到大的顺序枚举质数时，
        # 每个合数都只会被它的最小质因子筛掉。
        j = 1
        while (j <= count) and (primes[i] >= primes[j]) and (i * primes[j] <= n):
            primes[i * primes[j]] = primes[j]
            j += 1

    return count

总结

本题主要考查计算质数和质因子分解的算法，提供了埃拉托色尼筛法和线性筛法的两种实现方式。其中，线性筛法由于只需要计算每个质数的幂，因此更加简单和高效。